Kenapa Bilangan Negatif Dikali Negatif Hasilnya Positif?

Perkalian adalah proses perhitungan dasar di mana satu bilangan dilipatgandakan sesuai dengan bilangan pengalinya. Secara sederhana dapat dikatakan bahwa perkalian adalah penjumlahan yang berulang.

Kita tentu sudah familiar dengan sebuah perkalian, karena hal ini sudah dipelajari sejak sekolah dasar. Kita juga sudah tahu bahwa:

• Bilangan positif dikali bilangan positif menghasilkan bilangan positif

Contoh: 3 × 2 = 6

Operasi di atas dibaca tiga kali dua, atau bilangan 2 dilipatgandakan sebanyak 3 kali atau dalam bentuk penjumlahan berulang menjadi 2+2+2 = 6.

Atau bisa juga ditulis dalam bentuk 3+3 = 6.

Secara Matematika, penulisan 2+2+2 = 6 atau penulisan 3+3 = 6 keduanya adalah benar.

• Bilangan positif dikali bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif

Contoh: 3 × (-2) = -6
Karena (-2)+(-2)+(-2) = -6

• Bilangan negatif dikali bilangan positif, juga menghasilkan bilangan negatif

Contoh: (-3) × 3 = -9
Karena (-3)+(-3)+(-3) = -9

Lalu bagaimana jika bilangan negatif dikali bilangan negatif?

Misal (-3) × (-5), jawabannya adalah 15. Pertanyaannya adalah mengapa hasilnya bilangan positif? Bagaimana bisa atau bagaimana membuktikannya?

Sebelum membuktikan bilangan negatif dikali bilangan negatif, kita harus memahami terlebih dahulu beberapa poin dibawah ini :

1. Nol dikalikan dengan bilangan apa saja akan sama dengan nol, misal 4 × 0 = 0, karena 0+0+0+0 = 0. Jadi 0 x N atau N × 0 = 0.
2. Setiap bilangan mempunyai tepat satu bilangan yang disebut Invers Penjumlahan. Ini artinya adalah jika N sebuah bilangan positif, maka –N adalah invers penjumlahannya sehingga N + (-N) = 0. Demikian juga invers penjumlahan dari –N adalah N (karena (-N) + N = 0).
3. Hukum distributif, yaitu: a x (b+c) = a x b + a x c, juga berlaku untuk bilangan negatif. 
4. Bilangan negatif dikali bilangan positif atau bilangan positif dikali bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. Sama seperti contoh sebelumnya.

Dari keempat poin di atas, sekarang kita akan membuktikan kenapa bilangan negatif dikali bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.

Kita ambil contoh perkalian berikut ini :

(-2) × 0 = 0 (Poin nomor 1)

(-2) × [ 4 + (-4)] = 0 (ganti angka 0 sebelah kiri menjadi 4 + (-4))

[(-2) × 4] + [(-2) × (-4)] = 0 (Hukum/sifat distributif (poin nomor 3))

(-8) + [(-2) × (-4)] = 0

Misal nilai dari [(-2) × (-4)] adalah A, maka

(-8) + A = 0

Karena hasil penjumlahannya 0, maka A adalah invers penjumlahan dari -8, sehingga A = 8

Sehingga kita tau bahwa [(-2) × (-4)] = 8 (Bilangan Positif)

Selain dari cara d iatas, dapat dibuktikan juga bilangan negatif dikalikan dengan bilangan negatif hasilnya positif dengan menggunakan sifat negasi perkalian yakni:

“Negatif satu (-1) kali suatu bilangan (yang bukan nol) hasilnya sama dengan invers penjumlahan dari bilangan itu sendiri”

Berdasarkan sifat negasi perkalian

-1 x A = -A

Karena  A adalah invers penjumlahan dari -A, maka berdasarkan sifat negasi perkalian berlaku juga:

(-1) x (-A) = A

Jadi kita telah ”membuktikan” bahwa perkalian dua bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif.