Namun tidak semua topik dalam matematika murni yang dipelajari untuk memahami matematika ekonomi. Berikut perbedaan matematika ekonomi dan matematika murni yang dibahas dari dua aspek.

1. Berdasarkan Pengertian

Perbedaan matematika terapan dan matematika murni yaitu di dalam matematika murni simbol mewakili konsep yang abstrak di mana sifat-sifat yang dimilikinya ditentukan dengan definisi, sedangkan dalam matematika terapan kebanyakan simbol yang digunakan mewakili variabel yang dapat dilihat dalam kejadian yang nyata.

Secara mudah, dapat dijelaskan bahwa matematika murni memperlajari konsep dasar matematika agar dapat dikembangkan. Sedangkan matematika terapan adalah penerapan ilmu matematika dalam berbagai bidang kehidupan selain dalam bidang matematika itu sendiri.

2. Berdasarkan Penggunaan Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel dalam matematika tidak bersifat kaku karena dapat berubah sesuai dengan kebuthan.

Variabel-variabel yang digunakan dalam matematika murni adalah x, y, atau z. Sedangkan dalam matematika ekonomi, variabel-variabel yang digunakan melambangkan suatu istilah ekonomi. Contoh penggunaan variabel matematika ekonomi adalah P (price), C (cost), Q (quantity) dan lain lain.

The post 2 Perbedaan Matematika Ekonomi dan Matematika Murni yang Wajib diketahui appeared first on HaloEdukasi.com.

Sehingga dapat diartikan bahwa semakin besar suatu sudut jika melebihi 90 derajat maka akan membentuk sudut tumpul. Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua sinar garis. Sudut dibentuk dari dua sinar garis yang berpotongan pada satu titik. Garis-garis yang membentuk sudut disebut kaki sudut.

Bagaimana hubungan antara sudut dengan jarum jam? Ternyata Hubungan antara jarum jam dengan besar sudut yaitu, sudut yang terbentuk antara dua jarum jam akan menentukan waktu, dan sebaliknya.

Pada jam dinding terdapat jarum pendek dan jarum panjang, jarum pendek menunjukan jam dan jarum panjang menunjukan menit. Setiap pergerakan jarum panjang mempengaruhi jarum yang pendek dan begitu pula sebaliknya.

Dalam ukuran sudut dikenal juga istilah satuan derajat, menit, dan detik yang pengertiannya berbeda dengan satuan menit, detik pada satuan waktu. bagaimana menghitung besarnya sudut yang dibentuk oleh jarum jam pendek dan jarum jam panjang pada jam.

Perhatikan penjelasan berikut :

1. Dalam 1 jam pergerakan jarum jam pendek jika berputar satu putaran penuh itu artinya jarum bergerak selama 12 jam atau 360° dari hal itu kita akan mendapatkan: 12 jam = 360° sehingga 1 jam = 360° : 12 = 30° per jam  atau 1 jam = 30°. Ini berarti jika jarum jam pendek bergerak 1 jam maka sudut yang dibentuk antara tempat awal dan akhir jarum sebesar 30°.
2. Dalam 1 jam atau 60 menit pergerakan jarum jam panjang  jika berputar satu putaran penuh selama 60 menit dan 1 putaran = 360° didapat hubungan: 60 menit = 360° sehingga 1 menit = 360° : 60 = 6° atau  1 menit = 6°. Ini berarti jika jarum jam panjang bergerak 1 menit maka sudut yang dibentuk antara tempat awal dan akhir jarum panjang sebesar 6°

Contoh Soal beserta Pembahasannya

Soal 1

Tentukan besar sudut terkecil yang dibentuk jarum jam panjang dan jarum jam pendek pada pukul 06.30.

Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan masalah di atas kita harus mencari satu-persatu sudut yang dibentuk oleh masing-masing jarum jam. Dalam hal ini, angka 12 pada jam kita gunakan sebagai tempat awal kedua jarum jam.

06.30 berarti jarum jam pendek bergerak 6 jam 30 menit
6 jam + 30 menit = 6 jam + (30/60) jam

Jarum jam panjang bergerak 30 menit dari angka 12 maka, 30 menit = 30 x 6 = 180°
Jadi, sudut yang terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum jam = 195° – 180° = 15°

Catatan : Dalam mengurangkan sudut kedua jarum, kita kurangkan sudut yang terbentuk paling besar dikurangi sudut yang terbentuk paling kecil (mencari selisihnya). Hubungan antara jarum jam dengan besar sudut yaitu, sudut yang terbentuk antara dua jarum jam akan menentukan waktu, dan sebaliknya waktu menentukan besar sudut yang terbentuk.

Soal 2

Tentukan besar sudut terkecil yang dibentuk jarum jam panjang dan jarum jam pendek pada pukul 15.45.

Penyelesaian
Untuk menyelesaikan masalah di atas kita harus mencari satu-persatu sudut yang dibentuk oleh masing-masing jarum jam. Dalam hal ini, angka 12 pada jam kita gunakan sebagai tempat awal kedua jarum jam.
15.45 (03.45) berarti jarum jam pendek bergerak 3 jam 45 menit
3 jam + 45 menit = 3 jam + (45/60) jam

Jarum jam panjang bergerak 45 menit dari angka 12 maka, 45 menit = 45 x 6 = 270°
Jadi, sudut yang terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum jam = 270° – 112,5° = 157, 5°

Soal 3

Tentukan besar sudut terkecil yang dibentuk jarum jam panjang dan jarum jam pendek pada pukul 04.30.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan masalah di atas kita harus mencari satu-persatu sudut yang dibentuk oleh masing-masing jarum jam. Dalam hal ini, angka 12 pada jam kita gunakan sebagai tempat awal kedua jarum jam.
Sekarang kita mulai menghitung dan dimulai dari jarum jam pendek,
04.30 berarti jarum jam pendek bergerak 4 jam 30 menit
4 jam + 30 menit = 4 jam + (30/60) jam
= 4 x 30^o + (30/60) x 30^o
= 120^o + 15^o = 135^o
Jarum jam panjang bergerak 30 menit dari angka 12 maka,
30 menit = 30 x 6^o = 180^o
Jadi, sudut yang terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum jam = 180^o – 135^o = 45^o

Soal 4

Tentukan sudut terkecil yang dibentuk jarum jam panjang dan jarum jam pendek pada pukul 17.15

Penyelesaian :

Jarum jam pendek
17.15 = 05.15
= 5 jam + 15 menit
= 5 x 30^o + (15/60) x 30^o
= 150^o + 7,5^o
= 157,5^o
Jarum jam panjang
15 menit = 15 x 6^o
= 90^o
Jadi, sudut terkecil yang dibentuk kedua jarum jam = 157,5^o – 90^o = 67,5^o

Dalam mengurangkan sudut kedua jarum, kita kurangkan sudut yang terbentuk paling besar dikurangi sudut yang terbentuk paling kecil (mencari selisihnya).

Soal 5

Menentukan sudut yang dibentuk kedua jarum jam pada saat menunjukkan pukul 03.40. Perhatikan gambar berikut.

Penyelesaian :

Perhatikan besar sudut putaran jarum panjang dan jarum pendek. Sudut putar jarum panjang lebih besar daripada jarum pendek. Sehingga sudut yang dibentuk nanti adalah: Sudut = Sudut sudut jarum panjang – Sudut putar jarum pendek
Mari menghitung masing-masing besar sudut. Jarum panjang menunjuk angka 8. Besar sudut yang dibentuk jarum panjang sebagai berikut. = 8 × 30^o = 240^o
Jarum pendek menunjuk pukul 03.40. Sehinggu besar sudut yang dibentuk jarum pendek sebagai berikut.

Sudut yang dibentuk kedua jarum jam =  240^o – 110^o =  130^o Jadi, besar sudut yang dibentuk kedua jarum jam pada saat menunjukkan pukul 03.40 adalah 130^o.

The post Cara Menghitung Sudut Jam Beserta Contoh Soalnya appeared first on HaloEdukasi.com.

Sebuah titik-titik terletak pada sebuah garis maka ketiga titik tersebut memiliki gradien yang sama, sehingga memenuhi rumus berikut:

y1-y2/x1-x2 = y2-y3/x2-x3 

Titik P (6, d) terletak pada garis yang melalui titik Q (-4, 20) dan R (2, 2), maka

d-20/6-(-4)=20-2/-4-2
d-20/10=18/-6
-6(d-20)=18.10
-6d+120=180
-6d=180-120
-6d=60
d=-10

2. Persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y=x+10 dan melalui titik P (-1, 2) …

Persaaan garis y=x+10 memiliki gradien m1 = 1

Karena persamaan garis baru yang akan dicari sejajar dengan garis y = x +10 maka m2 = m1 = 1

y-y1 = m2 (x-x1)
y-2 = 1 (x-(-1))
y-2 = x+1
x-y+3 = 0

3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis yang melalui titik (4, 10) dan (-2, -8) adalah ….

Gradien dari garis yang melalui dua titik (4, 10) dan (-2, -8) adalah

m= y1-y2/x1-x2
m= 10-(-8)/4-(-2)
m= 18/6
m= 3

4. Persamaan garis melalui (-2, 4) dan tegak lurus terhadap garis 8y = -6x + 10 adalah ….

Mencari gradien garis 8y = -6x + 10

8y = -6x + 10
y = -6/8x + 10/8
maka gradien garis tersebut adalah m1 = -6/8

Sebuah garis akan tegak lurus dengan suatu persamaan garis jika memiliki gradien yang memenuhi persamaan berikut ini

m1 x m2 = -1
-6/8 x m2 = -1
m2 = -1 x -8/6
m2 = 8/6

Persamaan garis dengan gradien m2 = 8/6 yang melalui titik (-2, 4)

y-y1 = m2(x-x1)
y-4 = 8/6(x-(-2))
y-4 = 8/6(x+2)
6(y-4) = 8(x+2)
6y-24 = 8x+16
8x-6y+40=0

5. Persamaan garis yang melalui titik (-6, 10) dan tegak lurus garis 6x – 4y = 8 adalah ….

Mencari graden garis

6x-4y=8 6x-4y=8 4y=6x-8 y=6/4x-8

Maka gradien garis tersebut adalah m1=6/4 apabila garis tegak lurus dengan persamaan garis, maka gradien

m1 x m2 = -1 6/4 x m2 = -1 m2 = -4/6

Persamaan garis dengan gradien m2= -4/6 yang melalui titik (-6, 10) y-y1 = m2 (x-x1) y-10 = -4/6 (x-(-6)) y-10 = -4/6 (x+6) 6 (y-10) = -4 (x+6) 6y-10 = -4x-24 4x+6y+14=0.

The post 5 Contoh Soal Persamaan Garis Lurus Beserta Pembahasannya appeared first on HaloEdukasi.com.

Apa sih sebenarnya deret teleskopik itu? Selengkapnya akan kita bahas pada ulasan berikut.

Apa itu Deret Teleskopik?

Apa yang terpikirkan ketika mendengar kata teleskopik? Mayoritas orang akan mulai mengaitkannya dengan suatu benda yang bernama teleskop. Dan ternyata penamaan jenis deret ini punyai kaitan dengan teleskop lho.

Coba perhatikan bentuk batang teleskop yang besar di bagian atas dan kecil di bagian bawah. Karakteristik inilah yang diambil untuk menamai deret dimana nilai suku-sukunya semakin naik atau ada juga yang semakin turun.

Secara sederhana, deret teleskopik dapat diartikan sebagai suatu deret yang suku-sukunya akan saling menghilangkan karena adanya operasi perhitungan yang saling berlawanan. Nama lain dari deret teleskopik ini adalah deret berjatuhan. Ada suatu teknik dalam memunculkan deret teleskopik yang dikenal dengan nama prinsip teleskopik.

Prinsip Deret Teleskopik

Pada bagian sebelumnya sudah dijelaskan bahwa deret ini akan meunculkan proses penghilangan suatu bilangan karena tandanya yang berlawanan. Prinsip ini dapat terlihat pada penyelesaian persoalan matematika berikut,

2022 + 2020 + 2018 + 2016 + ... + 2 + 0 - 2 - 4 - ... 2016 - 2018 - 2020 

Jika dilihat sekilas, perhitungan di atas akan memakan waktu yang lama untuk penyelesaiannya. Bayangkan saja, kita diminta melakukan perhitungan dengan bilangan yang mencapai 2022. Namun sebenanrya persoalan ini sangat mudah diselesaikan jika sudah mengenal prinsip teleskopik. Lalu bagaimana sih cara penyelesaiannya?

• Pertama, coba kelompokkan suku-suku yang saling menghilangkan. Suku-suku ini ditandai dengan bilangannya sama namun tandanya berlawanan. Sehingga akan diperoleh,

2022 + (2020 - 2020) + (2018 - 2018) + ... (2 - 2) + 0 

• Selanjutnya perhatikan bahwa nilai yang ada di dalam tanda kurung () akan saling menghilangkan alias menghasilkan nilai 0.
• Ada bilangan yang tidak memiliki pasangan dengan tanda yang berlawanan yaitu bilangan 2022.
• Jadi, jawabannya sudah ketemu yaitu 2020.

Contoh Soal Deret Teleskopik

Ada banyak soal yang dapat diselesaikan menggunakan prinsip teleskopik. Berikut disajikan beberapa contoh soal deret teleskopik disertai dengan pembahasan lengkapnya.

Soal 1

Tentukan nilai dari perhitungan matematika berikut!

Pembahasan:

Kebanyakan siswa ketika dihadapkan dengan soal ini akan pusing terlebih dahulu. Jika soal ini dikerjakan secara manual tentunya akan memakan waktu yang cukup lama. Tapi jika sudah menerapkan prinsip teleskopik maka hanya butuh waktu 5-10 detik saja untuk sudah mengetahui hasilnya.

Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut pada bilangan tersebut akan saling menghilangkan. Penyebut pada bilangan pertama dengan pembilangan pada bilangan kedua dapat saling menghilangkan. Begitu juga dengan bilangan-bilangan berikutnya. Lebih jelasnya perhatikan perhitungan berikut.

Setelah dicoret karena penyebut dan pembilang saling menghilangkan, maka tersisa pembilang pada bilangan pertama yaitu 1, dan pecahan di bilangan terakhir yaitu 1025. Jadi, jawabannya adalah 1/1025.

Soal 2

Tentukan nilai dari perhitungan matematika berikut!

Pembahasan:

Penyelesaian permasalahan pada soal dapat dilakukan dengan menyederhanakan setiap perhitungan pada tanda kurung, sehingga diperoleh

Selanjutnya, kita tinggal menggunakan prinsip teleskopik dengan cara mencoret pembilang dan penyebut yang sama.

Setelah dilakukan pencoretan bilangan yang sama maka diperoleh hasil perhitungan yaitu 1/1000.

The post Deret Teleskopik: Pengertian – Prinsip dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Pembahasan kali ini akan difokuskan mengenai pengertian kombinatorika dan contoh-contoh soal yang terkait. Tak lupa pembahasan juga disertakan agar lebih memahami materi kombinatorika ini. Selamat belajar!

Apa itu Kombinatorika?

Salah satu cabang ilmu matematika tentang objek khusus adalah kombinatorika. Aspek yang berkaitan dengan kombinatorika adalah penentuan objek berdasarkan kriteria tertentu, perhitungan objek berdasarkan kriteria tertentu, penentuan objek “terbesar”, “terkecil” atau “optimal”, serta penentuan struktur suatu objek. Kombinatorika sendiri tergolong ke dalam rumpun “Diskrit” dalam matematika.

Dalam pembelajaran setingkat SMP dan SMA, kombinatorika ditemukan pada materi peluang. Jika peluang merupakan suatu cara untuk mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu, maka kombinatorika dikhususkan pada cara penyusunan sekumpulan objek tertentu.

Contoh Soal Kombinatorika dan Pembahasan

Kombinatorika berkaitan dengan prinsip permutasi dan kombinasi. Untuk itu dalam soal-soal berikut akan selalu menggunakan prinsip kombinatorika dalam penyelesaiannya.

Soal 1

Lina diharuskan mengerjakan 8 soal dari 18 soal yang tersedia. Ketentuan dalam pengerjaan soal ini adalah soal nomor 1 sampai 5 merupakan soal yang wajib dikerjakan. Tentukan berapa banyak pilihan soal yang dapat dipilih!

Pembahasan:

Dari soal diketahui ada 18 soal, wajib mengerjakan 8 soal, sedangkan ada syarat bahwa soal no. 1-5 wajib dikerjakan, maka Lina tinggal memilih 3 soal lain selain soal no. 1-5.

Pemilihan 3 soal tersebut jika di bolak-balik urutannya akan sama saja. Misalkan Lina memilih soal nomor 10, 13, 15, maka akan sama saja ketika Lina memilih tiga soal dengan urutan 13, 10, 15. Hal ini berarti kita harus memperhatikan urutan pemilihan soal. Sehingga kita akan menggunakan prinsip kombinasi dan diperoleh,

Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dipilih oleh Lina adalah 286 macam.

Soal 2

Tangaal 24 Februari adalah ulang tahun Hani. Pada hari itu Hani merayakan ulang tahun di sebuah tempat makan, namun hanya dapat mengundang 10 dari 15 orang temannya karena keterbatasan tempat yang tersedia. Di antara 15 orang tersebut ada 5 orang sahabatnya yaitu Husein, Listy, Cepi, Dinar, dan Edwin. Hani memutuskan harus mengundang Cepi dan Listy. Dinar sudah pasti tidak bisa memenuhi undangan karena sedang keluar kota, sedangkan Edwin sedang isolasi mandiri karena terpapar Covid-19. Tentukan banyak cara yang dipunyai Hani untuk mengundang teman-temannya!

Pembahasan:

Pada soal diketahui bahwa total ada 15 orang dan ada 2 orang yang sudah terpilih yaitu Cepi dan Listy, sehingga tersisa 13 orang.

Dari 13 orang yang tersisa, ada dua orang yang tidak dapat hadir yaitu Dinar dan Edwin maka tersisa 11 pilihan teman.

Selanjutnya, kita akan mengundang 8 orang dari 11 orang yang tersisa (8 diperoleh dari 10-2, karena ada 2 orang yang sudah pasti diundang). Sehingga diperoleh,

Jadi, ada 165 cara yang dipunyai Hani untuk mengundang teman-temannya.

Soal 3

Pada sebuah turnamen, sebuah tim dikatakan menang (W) jika memenangkan 2 pertandingan secara berurutan atau jika tim itu merupakan tim yang pertama kali memenangkan 4 pertandingan. Tentukan banyaknya cara turnamen tersebut dapat dilaksanakan!

Pembahasan:

Jika dimisalkan ada tim X dan tim Y dalam turnamen tersebut yang sedang bertanding, maka akan ada beberapa kemungkinan yang terjadi mengenai hasil menang(W) atau kalah(L) dari setiap tim.

Pertandingan hanya akan terjadi maksimal 7 kali. Berdasarkan tabel di atas, ada 6 x 2 = 12 cara agar turnamen bisa dilaksanakan dengan ketentuan pemenang seperti pada soal dapat terjadi.

Soal 4

Pelat kendaraan bermotor di suatu negara tersusun atas 2 angka dan 3 abjad. Pada pemilihan angka, tidak ada aturan pembatasan. Tentukan jumlah maksimum pelat yang dapat dibuat di negara tersebut!

Pembahasan:

Perhatikan bahwa pada pelat tersebut, dua elemen awal pada pelat adalah angka, maka dapat diisi angka berapapun dari 0 sampai 9. Sehingga akan diperoleh 10 x 10 = 100 susunan yang berbeda.

Tiga elemen akhir pada pelat adalah abjad. Dari abjad a sampai z ada 26 huruf, sehingga akan diperoleh 26 x 26 x 26 = 17.576 susunan yang berbeda.

Secara keseluruhan, jumlah pelat maksium yang dapat dibuat di negara tersebut adalah 100 x 17.576 = 1.757.600.

Soal 5

Sebuah bilangan terdiri dari 4 digit yang angka-angkanya disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan banyaknya susunan bilangan yang mungkin terjadi jika angka-angkanya berlainan!

Pembahasan:

Ada dua cara untuk penyelesaian persoal ini.

1. Cara pertama menggunakan metode filling slot seperti berikut,

kotak ribuan dapat diisi oleh kemungkinan dari 6 angka
kotak ratusan dapat diisi oleh kemungkinan dari 5 angka
kotak puluhan dapat diisi oleh kemungkinan dari 4 angka
kotak satuan dapat diisi oleh kemungkinan dari 3 angka

Banyak susunan angka yang mungkin adalah 6 x 5 x 4 x 3 = 360.

2. Cara kedua menggunakan prinsip permutasi.

Pada penyusunan angka, urutan angka akan membuat bilangan tersebut berbeda (perhatikan bahwa 325 ≠ 523). Karena alasan inilah kita akan menerapkan prinsip permutasi untuk penyelesaian persoalan ini.

The post Kombinatorika: Pengertian dan Contoh Soalnya appeared first on HaloEdukasi.com.

Nah, ada satu jenis peluang yang dinamakan dengan peluang binomial. Beberapa orang menyebutnya sebagai distribusi peluang binomial.

Nah, apa sih distribusi peluang binomial itu? Dan seperti apa contohnya serta cara penyelesaiannya akan kita bahas pada ulasan berikut.

Apa itu Distribusi Peluang Binomial?

Binomial tersusun atas kata “bi” yang berarti dua, dan “nomial” yang berarti kondisi. Maksud dari binomial ini sendiri adalah adanya kondisi yang memuat dua kemungkinan. Misalnya kemungkinan berhasil atau gagal.

Sedangkan distribusi peluang binomial merupakan distribusi peluang dengan variabel acak diskrit dengan jumlah keberhasilan dalam suatu n percobaan ya/tidak yang saling bebas. Maksud dari saling bebas disini adalah setiap hasil percobaan mempunyai peluang p.

Rumus Distribusi Peluang Binomial

Tidak semua kejadian mengani peluang akan didasarkan pada konsep dan rumus distribusi peluang binomial ini. Ada syarat tertentu agar rumus peluang binomial bisa diterapkan. Jika suatu kejadian memenuhi syarat-syarat berikut maka digunakanlah rumus persamaan distribusi peluang binomial.

• Ada sebanyak n kali percobaan
• Setiap percobaan yang dilakukan mempunyai dua kemungkinan hasil
• Hasil dari setiap percobaan memunculkan kemungkinan yang sama
• Hasil percobaan saling bebas satu sama lain

Jika dimisalkan X adalah variabel random diskrit, maka peluang dari X ditentukan melalui persamaan distribusi peluang binomial berikut.

dengan P(X) adalah peluang dari nilai variabel yang ditanyakan, n aadlah jumlah percobaan yang dilakukan, p adalah peluang berhasil, dan q adalah peluang gagal.

Contoh Soal dan Pembahasan Distribusi Peluang Binomial

Berikut adalah beberapa contoh soal mengenai distribusi peluang binomial disertai dengan pembahasan lengkapnya.

Soal 1

Sebuah koin terdiri atas dua sisi, yaitu sisi angka dan sisi gambar. Gery mengundi dengan koin sebanyak 5 kali. Pada undian pertama, Gery mendapatkan kemungkinan hasil hanya sisi angka dan sisi gambar. Undian kedua juga mempunyai kemungkinan hasil sisi angka dan sisi gambar. Hal ini terjadi sampai pada undian ke-5. Berdasarkan hasil dari 5 kali pengundian, tentukan peluang sisi angka muncul sebanyak dua kali!

Pembahasan

Berdasarkan infomasi pada soal diperoleh ringkasan sebagai berikut,

jumlah percobaan = n = 5
peluang sukses = peluang munculnya sisi angka pada setiap percobaan = p = 0,5
peluang gagal = peluang munculnya sisi gambar pada setiap percobaan = q = 1 – 0,5

Berdasarkan rumus distribusi peluang binomial, maka peluang munculnya sisi angka muncul dua kali atau P(X=2),

Jadi, peluang sisi angka muncul sebanyak dua kali dari 5 kali percobaan adalah 5/16.

Soal 2

Lusi melemparkan 5 keping uang logam. Jika variabel acak X menyatakan banyak hasil sisi angka yang diperoleh maka tentukan hasil yang mungkin untuk X!

Pembahasan

Ketika kita melemparkan 5 keping uang logam maka ada kemungkinan kita tidak akan menjumpai kelimanya adalah angka. Ada banyak kemungkinan yang muncul, antara lain

Jadi, hasil yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Soal 3

Kiki melemparkan sebuah dadu sebanyak 4 kali. Tentukan peluang muncul mata dadu yang merupakan kelipatan 3 sebanyak 2 kali!

Pembahasan

Pada soal, ada dua kejadian yang mungkin muncul yaitu kejadian munculnya dadu berkelipatan 3 dan kejadian dimana tidak muncul mata dadu berkelipatan 3. Ingat bahwa jumlah mata dadu = 6

jumlah percobaan = n = 4
peluang sukses = peluang munculnya mata dadu berkelipatan 3 = p = 2/6 = 1/3
peluang gagal = peluang tidak munculnya mata dadu berkelipatan 3 = q = 1- 1/3 = 2/3

Berdasarkan rumus distribusi peluang binomial, maka peluang munculnya mata dadu yang merupakan kelipatan 3 sebanyak 2 kali atau P(X=2) yaitu

Jadi, peluang munculnya mata dadu yang merupakan kelipatan 3 sebanyak 2 kali pada 4 kali pelemparan adalah 0,2963.

The post Distribusi Peluang Binomial: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Pengertian Permutasi Siklis

Sebelum masuk ke pembahasan permutasi siklis, kita harus tahu dulu apa itu permutasi.

Permutasi merupakan sebuah aturan penyusunan atau pencacahan tanpa memperhatikan bagaimana urutan objek tersebut. Hal ini berbeda dengan kombinasi yang harus memperhatikan urutan objek.

Permutasi siklis merupakan salah satu jenis permutasi yang berkaitan dengan elemen yang disusun secara melingkar.

Rumus Permutasi Siklis

Berikut adalah ilustrasi penentuan permutasi dari elemen yang disusun secara melingkar.

Misalkan diketahui ada lima elemen yaitu A, B, C, D, dan E disusun secara melingkar seperti pada gambar di bawah

Susunan untaian di atas dapat kita susun ulang menjadi urutan untaian seperti berikut

A B C D E
B C D E A 
C D E A B 
D E A B C 
E A B C D 

Ingat bahwa permutasi tidak memperhatikan urutan objek, maka setiap macam untaian tersebut di atas kita anggap identik untuk satu sama lainnya. Selanjutnya, permutasi siklis akan dihitung dengan cara menganggap satu elemen sebagai awal dari suatu untaian.

Misalkan pada untaian A B C D E maka [A] adalah awal untaian dan [B C D E] merupakan bagian yang dipermutasikan. Bagian yang dipermutasikan merupakan bagian yang dapat berubah-ubah. Jika panjang untaian kita misalkan dengan n maka bagian yang dipermutasikan adalah (n-1). Jadi untuk mengetahui berapa banyak macamnya elemen tersebut bisa dipermutasikan atau diubah adalah dengan rumus berikut.

Permutasi siklis dari n objek = (n-1)!

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi Siklis

Ada banyak contoh soal mengenai permutasi siklis. Pada umumnya, siswa akan merasa kebingungan jika soal sudah diubah sedikit. Berikut beberapa contoh soal disertai pembahasan yang berkaitan dengan permutasi siklis dan sering keluar dalam ujian.

Soal 1

Sebuah rapat diselenggarakan di sebuah meja bundar dan dihadiri oleh 5 orang yaitu direktur, sekretasis, manajer personalia, manajer keuangan, dan manajer pemasaran. Tentukan berapa banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika (a) mereka semua bisa bebas berpindah-pindah tempat, dan (b) direktur dan sekretaris selalu berdekatan ?

Pembahasan:

Dari soal diketahui banyak elemen yang terlibat adalah 5 orang (direktur, sekretasis, manajer personalia, manajer keuangan, manajer pemasaran).

(a) banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika semua orang bebas berpindah-pindah tempat adalah (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara

(b) banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika direktur dan sekretaris selalu berdekatan:

Untuk kondisi ini mari kita ilustrasikan sebagai berikut

Terdapat syarat bahwa direktur dan sekretaris harus selalu berdampingan, maka direktur dan sekretaris dapat kita anggap sebagai satu elemen. Maka ada 4 objek yang akan kita susun secara siklis. Permutasi siklis dari 4 objek adalah (4-1)! = 3! = 3×2 = 6 cara.

Ingat bahwa untuk direktur dan sekretaris yang duduk berdekatan dapat disusun menjadi 2! = 2×1 = 2 cara. (ingat bahwa 0! = 1)

Jadi, banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika direktur dan sekretaris selalu berdekatan adalah 6 x 2 = 12 cara

Soal 2

Dalam suatu kegiatan perlombaan matematika, terdapat 3 orang dari sekolah X, 4 orang dari sekolah Y, 4 orang dari sekolah A, dan 2 orang dari sekolah B. Mereka semua diperintahkan untuk duduk melingkar dengan syarat peserta yang berasal dari sekolah yang sama harus duduk berdampingan. Tentukan banyak cara untuk mengatur susunan duduk semua peserta perlombaan!

Pembahasan:

Karena ada syarat bahwa peserta yang berasal dari sekolah yang sama harus duduk berdampingan maka setiap kelompok dari sekolah yang sama kita misalkan sebagai satu objek.

3 orang dari sekolah X sebagai satu objek
4 orang dari sekolah Y sebagai satu objek
4 orang dari sekolah A sebagai satu objek
2 orang dari sekolah B sebagai satu objek

Banyak cara mengatur 4 objek berdasarkan konsep permutasi siklis adalah (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6 cara

Ingat bahwa setiap kelompok elemen yang kita misalkan sebagai satu objek masih dapat diatur ragam posisi duduknya, yaitu

Cara duduk 3 orang dari sekolah X = 3! = 3x2x1 = 6 cara
Cara duduk 4 orang dari sekolah Y = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara
Cara duduk 4 orang dari sekolah A = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara
Cara duduk 2 orang dari sekolah B = 2! = 2x1 = 2 cara

Jadi, banyak cara untuk mengatur susunan duduk semua peserta perlombaan adalah 6 x 6 x 24 x 24 x 2 = 41.472 cara

Soal 3

Raffi mempunyai lima anak yaitu Ana, Ani, Anto, Andri, dan Ahmad. Tentukan banyaknya cara yang dapat digunakan Raffi dan kelima anaknya untuk duduk mengelilingi meja makan bila (a) tidak ada syarat, (b) Ana dan Ani harus duduk berdampingan, dan (c) Ana dan Ani tidak boleh duduk berdampingan!

Pembahasan:

Banyaknya objek yang akan duduk mengelilingi meja bundar adalah 6 orang, maka n = 6.

(a) Banyak cara untuk duduk (tanpa syarat) adalah (6-1)! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 cara

(b) Banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan.

Misalkan Ana dan Ani adalah satu objek, maka banyak cara duduk dari 5 objek adalah (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara

Ingat bahwa posisi Anda dan Ani dapat bertukar tempat dengan kata lain cara Ana dan Ani duduk adalah 2! = 2×1 = 2 cara.

Jadi, banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan adalah 24 x 2 = 48 cara.

(c) Banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani tidak boleh duduk berdampingan

Pada poin ini, kita tinggal mengurangi banyak cara duduk keseluruhan (tanpa syarat) terhadap banyak duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan. Sehingga diperoleh 120 – 48 = 72 cara.

The post Permutasi Siklis: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Sebelum membahas terlalu jauh mengenai cara penentuan besar sudut antara dua tali busur, kita akan mengenal dahulu jenis-jenis dari perpotongan tali busur.

Dua tali busur dapat berpotongan pada dua kondisi yaitu berpotongan di dalam lingkaran dan juga berpotongan di luar lingkaran. Kedua kondisi ini masing-masing akan menghasilkan sudut dengan ukuran tertentu.

1. Sudut antara Dua Tali Busur Berpotongan di Dalam Lingkaran

Dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran akan membentuk sudut. Agar lebih memahami mengenai jenis sudut ini maka perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, terdapat lingkaran berpusat di O dengan titik P merupakan titik potong antara busur KM dan busur LN. Perhatikan bahwa kedua busur KM dan busur LN memenuhi kondisi berpotongan di dalam lingkaran.

Dari perpotongan ini terbentuklah beberapa sudut, yaitu  ∠KPL, ∠KPN, ∠LPM, dan ∠MPN. Keempat sudut ini adalah sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.

Nah, sekarang bagaimana cara kita menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran? Untuk menjawabnya kita akan menggunakan garis bantuan. Misal akan ditentukan besar ∠MPN, maka kita akan menggunakan garis bantuan dari titik K dan titik N yaitu garis KN. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari garis bantu KN kita akan memperoleh ∠MKN = ∠PKN. Hal ini karena ∠MKN dan ∠PKN adalah sudut keliling yang menghadap busur MN. Coba perhatikan bahwa ada sudut lain yang menghadap busur MN yaitu sudut pusat MON. Berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling diperoleh,

∠MKN = ∠PKN = ½ × ∠MON                                                  …… (i)

Mari kita lihat sudut yang lain. Perhatikan sudut-sudut yang menghadap ke busur KL. Sudut-sudut tersebut adalah ∠KNL, ∠KNP, dan ∠KOL. Untuk ∠KNL dan ∠KNP adalah sudut keliling, dan ∠KOL adalah sudut pusat. Analog dengan cara untuk memperoleh persamaan (i) maka diperoleh,

∠KNL = ∠KNP = ½ × ∠KOL                                                     …… (ii)

Selanjutnya, perhatikan △KPN. Berdasarkan sifat jumlah sudut dalam segitiga diperoleh,

∠PKN + ∠KNP + ∠KPN = 1800
∠KPN = 1800 – ∠PKN – ∠KNP                                                                 …… (iii)

Salah satu sudut luar △KPN adalah ∠MPN. Ada dua sudut yang saling berpelurus yaitu ∠MPN dan ∠KPN. Dengan menggunakan sifat sudut yang saling berpelurus maka,

∠MPN + ∠KPN = 1800
⇔  ∠MPN + (1800 – ∠PKN – ∠KNP) = 1800                      {substitusikan pers (iii)}
⇔  ∠MPN = ∠PKN + ∠KNP
⇔  ∠MPN = (½ × ∠MON) + (½ × ∠KOL)                         {substitusikan pers (i) dan pers (ii)}
⇔  ∠MPN = ½ × (∠MON + ∠KOL)

Dengan menggunakan analogi dari cara di atas kita akan menentukan besar ∠LPM. Pertama-tama kita akan menggunakan garis bantuan dari titik K dan titik L yaitu garis KL. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari garis bantu KN kita akan memperoleh ∠LKP = ∠LKM. Hal ini karena ∠LKP dan ∠LKM adalah sudut keliling yang menghadap busur LM. Coba perhatikan bahwa ada sudut lain yang menghadap busur LM yaitu sudut pusat LOM. Berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling diperoleh,

∠LKP = ∠LKM = ½ × ∠LOM                                                    …… (iv)

Mari kita lihat sudut yang lain. Perhatikan sudut-sudut yang menghadap ke busur KN. Sudut-sudut tersebut adalah ∠KLN, ∠KLP, dan ∠KON. Untuk ∠KLN dan ∠KLP adalah sudut keliling, dan ∠KON adalah sudut pusat. Analog dengan cara untuk memperoleh persamaan (iv) maka diperoleh,

∠KLN = ∠KLP = ½ × ∠KON                                                     …… (v)

Selanjutnya, perhatikan △KLP. Berdasarkan sifat jumlah sudut dalam segitiga diperoleh,

∠KLP + ∠LKP + ∠KPL = 1800
∠KPL = 1800 – ∠KLP – ∠LKP                                                   …… (vi)

Salah satu sudut luar △KPN adalah ∠LPM. Ada dua sudut yang saling berpelurus yaitu ∠LPM dan ∠KPL. Dengan menggunakan sifat sudut yang saling berpelurus maka,

∠LPM + ∠KPL = 1800
⇔  ∠LPM + (1800 – ∠KLP – ∠LKP) = 1800                     {substitusikan pers (vi)}
⇔  ∠LPM = ∠KLP + ∠LKP
⇔  ∠LPM = (½ × ∠KON) + (½ × ∠LOM)                          {substitusikan pers (iv) dan pers (v)}
⇔  ∠LPM = ½ × (∠KON + ∠LOM)

Dengan menggunakan analogi cara yang sama untuk mendapatkan rumus ∠MPN dan ∠LPM, selanjutnya bisa ditentukan rumus untuk sudut ∠LPK dan ∠KPN. Sehingga dari kondisi perpotongan tali busur KM dan tali busur LN seperti pada gambar selanjutnya diperoleh rumus sebagai berikut.

 ∠MPN = ½ × (∠MON + ∠KOL)
 ∠LPM = ½ × (∠KON + ∠LOM)
 ∠KPL = ½ × (∠KOL + ∠MON)
 ∠KPN = ½ × (∠KON + ∠LOM) 

Secara garis besar dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa “Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari penjumlahan sudut-sudut pusat yang menghadap busur diapit oleh kaki-kaki sudut tersebut”.

2. Sudut antara Dua Tali Busur Berpotongan di Luar Lingkaran

Tali busur lingkaran juga bisa berpotongan di luar lingkaran. Perpotongan ini diperoleh dengan membuat perpanjangan dari dua tali busur jika kedua tali busur tersebut tidak berpotongan di dalam lingkaran. Untuk lebih jelasnya coba perhatikan gambar berikut.

Pada lingkaran dengan pusat O di atas, terdapat tali busur KL dan MN. Juga terdapat 4 sudut pusat yaitu ∠KOL, ∠LOM, ∠MON, dan ∠KON. Tali busur KL dan MN tidak berpotongan di dalam lingkaran sehingga kedua tali busur ini diperpanjang hingga berpotongan di luar lingkaran yaitu pada titik P. Dari hasil perpotongan kedua tali busur ini terbentuklah ∠KPN.

Perhatikan sudut keliling yang menghadap busur KN yaitu ∠KMN, dan sudut pusat yang menghadap busur KN yaitu ∠KON. Karena kedua sudut pusat dan sudut keliling ini menghadap busur yang sama maka berlaku ∠KMN = ½ × ∠KON.

Selanjutnya, perhatikan sudut keliling yang menghadap busur LM yaitu ∠LKM, dan sudut pusat yang menghadap busur LM yaitu ∠LOM. Dari kedua sudut ini berlaku ∠LKM = ½ × ∠LOM.

Pada △KPM, tinjaulah ∠LKM yang merupakan sudut luar △KPM. Dari kondisi ini diperoleh,

∠LKM = ∠KMN + ∠KPN
⇔  ∠KPN = ∠LKM –  ∠KMN 

Karena sebelumnya sudah diperoleh kondisi ∠KMN = ½ × ∠KON dan ∠LKM = ½ × ∠LOM, sehingga

⇔  ∠KPN = (½ × ∠LOM) –  (½ × ∠KON)
⇔  ∠KPN = ½ × (∠LOM –  ∠KON)

Jadi dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa “Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut tersebut”.

The post 2 Sudut antara Dua Tali Busur Beserta Penjelasannya appeared first on HaloEdukasi.com.

Berbeda dengan algoritma Eculid, istilah FPB atau Faktor Persekutuan Terbesar pastinya sudah familiar di telinga kita. Ini karena sejak pendidikan SD kita sudah dikenalkan dengan FPB. Lalu apa ya kaitan antara algoritma Euclid dan FPB? Simak ulasan berikut.

Apa itu Algoritma Euclid?

Sebelum mengenal lebih jauh mengenai algoritma Euclid, kita pahami terlebih dahulu apa itu algoritma. Algoritma dapat diartikan sebagai sederetan alur atau prosedur untuk menyelesaian masalah tertentu.

Sedangkan algoritma Euclid sendiri merupakan sebuah prosedur yang digunakan untuk menentukan nilai FPB dari dua bilangan.

Algoritma ini dinamakan algoritma Euclid sesuai dengan nama pencetusnya yaitu Euclid. Euclid adalah seorang matematikawan terkenal dari Yunani. Euclid menuliskan algoritma Euclid secara lengkap dalam bukunya yang berjudul Elements.

Pembelajaran tentang algoritma Euclid biasanya ada di tingkat perkuliahan khususnya untuk mahasiswa program studi matematika. Dan dipelajari secara mendalam pada mata kuliah Teori Bilangan.  

Kegunaan Algoritma Euclid untuk Menentukan FPB

Cara penentuan FPB yang popular adalah dengan menentukan bilangan terbesar dari semua faktor persekutuannya dari bilangan-bilangan tertentu. Jika berbicara mengenai faktor persekutuan tentunya berkaitan dengan bilangan prima.

Proses menentukan faktor persekutuan yang merupakan bilangan prima dikenal juga dengan nama faktorisasi prima. Untuk siswa tingkat SD kemudian akan diajarkan mengenai pohon faktor untuk mempermudah proses faktorisasi prima.

Tidak ada yang salah dengan proses faktorisasi prima untuk menentukan FPB, namun cara ini terbatas pada bilangan kecil saja. Ketika diperlukan untuk menentukan FPB dari bilangan yang besar maka cara faktorisasi prima tidak akan efektif.

Dan permasalahan ini terjawab dengan adanya algoritma Euclid. Algoritma Euclid menggunakan konsep modulo (sisa pembagian) dalam prosesnya.

Prosedur Algoritma Euclid

Prosedur dalam algoritma Euclid secara lengkap dituliskan sebagai berikut.

FPB (a,b) dengan a > b dan a, b merupakan bilangan bulat positif dapat ditentukan dengan melakukan pengulangan algoritma pembagian berikut:

 a = q1.b + r1                                     0 < r1 < b
 b = q2.r1 + r2                                    0 < r2 < r1
 r1 = q3.r2 + r3                                   0 < r3 < r2
     ⁞                                                ⁞
 rn-2 = qn.rn-1 + rn                                0 < rn < rn-1
 rn-1 = qn+1.rn + rn+1                              rn+1 = 0 

Proses pembagian tersebut diulangi hingga sisa hasil baginya 0, dan FPB(a,b) ditentukan dari sisa terakhir dari pembagian di atas yang bukan nol.

Misal akan ditentukan FPB dari 720 dan 246 menggunakan algoritma Euclid, maka algoritma pembagian untuk menentukan FPB adalah sebagai berikut:

720 = 2 x 246 + 228                                  iterasi 1
246 = 1 x 228 + 18                                    iterasi 2
228 = 12 x 18 + 12                                    iterasi 3
18 = 1 x 12 + 6                                         iterasi 4
12 = 2 x 6 + 0                                           iterasi 5

Algoritma pembagian selesai ketika iterasi ke-5 karena sisa pembagian mencapai 0, maka FPB(720, 246) yang dimaksud adalah sisa pembagian terakhir sebelum 0 yaitu 6 (pada iterasi ke-4).

Cara di atas merupakan alur penentuan FPB(720, 246) menggunakan algoritma Euclid. Berikut akan dibandingkan dengan cara menentukan bilangan pembaginya.

Bilangan pembagi 720 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
Bilangan pembagi 246 = 1, 2, 3, 41
Bilangan pembagi 720 dan 246 =  1, 2, 3

Maka FPB dari 720 dan 246 adalah 1 x 2 x 3 = 6.

Dari perbandingan kedua cara di atas, algoritma Euclid terbukti lebih efektif untuk menentukan FPB dari bilangan yang besar.

Contoh Soal dan Pembahasan Algoritma Euclid

Agar lebih memahami proses penentuan FPB menggunakan algoritma Euclid maka perhatikan kembali pembahasan dari soal-soal berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan FPB dari 615 dan 3579 menggunakan Algoritma Euclid

Pembahasan:

Berikut adalah alur algoritma pembagian untuk menentukan FPB(615, 3579)

3579 = 3 x 988 + 615                                         iterasi 1
988 = 1 x 615 + 373                                           iterasi 2
615 = 1 x 373 + 242                                           iterasi 3
373 = 1 x 242 + 131                                           iterasi 4
242 = 1 x 131 + 111                                           iterasi 5
131 = 1 x 111 + 20                                             iterasi 6
111 = 5 x 20 + 11                                               iterasi 7
20 = 1 x 11 + 9                                                   iterasi 8
11 = 1 x 9 + 2                                                     iterasi 9
9 = 4 x 2 + 1                                                       iterasi 10
2 = 2 x 1 + 0                                                       iterasi 11

Pada iterasi ke-11, sisa pembagian adalah 0, maka FPB dari 615 dan 3579 ditentukan dari sisa hasil bagi pada iterasi sebelumnya yaitu iterasi ke-10. Sisa pembagian pada iterasi ke-10 adalah 1. Jadi FPB(615, 3579) adalah 1.

Contoh Soal 2

Tentukan FPB dari 534 dan 10587 menggunakan Algoritma Euclid!

Pembahasan:

Berikut adalah alur algoritma pembagian untuk menentukan FPB(534, 10587)

10587 = 19 x 534 + 441                                    iterasi 1
534 = 1 x 441 + 93                                             iterasi 2
441 = 4 x 93 + 69                                               iterasi 3
93 = 1 x 69 + 24                                                 iterasi 4
69 = 2 x 24 + 21                                                 iterasi 5
24 = 1 x 21 + 3                                                   iterasi 6
21 = 7 x 3 + 0                                                     iterasi 7

Iterasi algoritma pembagian berhenti pada iterasi ke-7 karena sisa pembagian adalah 0. Maka FPB dari 534 dan 10587 adalah sisa pembagian pada iterasi ke-6 yaitu 3. Jadi, FPB(534, 10587) adalah 3.

Contoh Soal 3

Tentukan FPB dari 1677, 1157, dan 897 menggunakan Algoritma Euclid!

Pembahasan:

Penentuan FPB menggunakan algoritma Euclid hanya bisa digunakan untuk dua bilangan. Namun bukan berarti kita tidak bisa menggunakan algoritma Euclid ini untuk menentukan FPB. Cara penentuan FPB dari 3 bilangan adalah dengan memilih 2 dari 3 bilangan itu terlebih dahulu.

Misal dipilih terlebih dahulu bilangan 1677 dan 1157, maka iterasi algoritma pembagiannya adalah sebagai berikut.

1677 = 1 x 1157 + 520                                      iterasi 1
1157 = 2 x 520 + 117                                        iterasi 2
520 = 4 x 117 + 52                                            iterasi 3
117 = 2 x 52 + 13                                              iterasi 4
52 = 4 x 13 + 0                                                  iterasi 5

Pada iterasi ke-5 sisa pembagian sama dengan 0, maka FPB(1677, 1157) adalah sisa pembagian pada iterasi ke-4 yaitu 13.  Selanjutnya akan ditentukan FPB dari 897 dan 13 (FPB dari 1677 dan 1157). Algoritma pembagiannya sebagai berikut.

897 = 69 x 13 + 0                                                iterasi 1

Pada iterasi pertama sisa pembagian sudah sama dengan 0, maka FPB dari 897 dan 13 adalah 13. Jadi bisa disimpulkan bahwa FPB dari 1677, 1157, dan 897 adalah 13. Atau bisa dituliskan FPB(1677, 1157, 897) = 13.

The post Algoritma Euclid: Pengertian – Prosedur dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Nah, ada satu jenis soal yang hamper selalu keluar dalam setiap kompetisi matematika yaitu mengenai Teorema Sisa Cina. Dari namanya saja sudah menarik ya! Apakah teorema ini berasal dari Cina? Atau apa sih sejarahnya sehingga dinamakan Teorema Sisa Cina? Dan seperti apa juga soal matematika terkait Teorema Sisa Cina ini? Berikut ulasan lengkapnya.

Apa itu Teorema Sisa Cina?

Teorema sisa cina merupakan sebuah algoritma untuk menyelesaikan persoalan dengan prinsip kongruensi modulo (sisa pembagian).

Sejarah Teorema Sisa Cina

Teorema sisa cina sudah digunakan untuk mengukur pergerakan planet oleh para astronomi Cina. Jejak teorema sisa cina ditemukan di buku yang berjudul Sun-tzu Suan-ching karya Jenderal Sun Tzu atau yang terkenal dengan sebutan Master Sun.

Pada buku yang konon ditulis sejak abad ke-6 itu tertulis sebuah permasalahan yang berkaitan dengan teorema sisa cina. Namun tidak ada penyelesaian dari persoalan terkait teorema sisa cina yang tertulis dalam buku tersebut. Persoalan tersebut adalah

Ada barang yang tidak diketahui jumlahnya. Jika barang itu dibagi 3, maka akan bersisa 2. Jika barang itu dibagi 5 maka akan bersisa 3. Jika barang itu dibagi 7 maka akan bersisa 2. Jadi berapa jumlah barang tersebut?

Penyelesaian terkait permasalahan yang dituliskan oleh Master Sun baru ditemukan sekitar abad ke-6 yaitu berupa sebuah algoritma. Algoritma ini memanfaatkan kongruensi modulo, dan sampai sekarang dikenal sebagai Teorema Sisa Cina. Penggunaan nama ‘Cina’ karena permasalahan awal terkait teorema ini ditemukan di Cina.

Isi Teorema Sisa Cina

Berikut adalah isi dari teorema sisa cina:

Misalkan b₁, b₂, … , b_r adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga FPB(b_i, b_j) = 1 untuk i ≠ j. Maka sistem kongruensi linier satu variabel berikut akan mempunyai solusi simultan yang tunggal modulo bilangan bulat. x ≡ a₁ (mod b₁) x ≡ a₂ (mod b₂) ⁞ x ≡ a_r (mod b_r)

Sistem kongruensi linier terkait teorema sisa Cina dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.

• Tentukan FPB(b_i, b_j) untuk i ≠ j. Jika ditemukan FPB(b_i, b_j) = 1 maka sistem kongruensi linier tersebut mempunyai solusi
• Tentukan b = b₁b₂ … b_r dan B_k dengan rumus berikut

3. Selesaikan B_k x_k ≡ 1 (mod b_k) , k = 1, 2, … , r
4. Solusi yang diperoleh adalah x ≡ (a₁b₁x₁ + a₂b₂x₂ + … + a_rb_rx_r)(mod b)

Berdasarkan teorema sisa cina, maka persoalan yang ada pada buku Master Sun dapat ditulis secara matematis seperti berikut.

• barang itu dibagi 3 bersisa 2 ditulis :     x ≡ 2 (mod 3)
• barang itu dibagi 5 bersisa 3 ditulis :     x ≡ 3 (mod 5)
• barang itu dibagi 7 bersisa 2 ditulis :     x ≡ 2 (mod 7)

Contoh Soal dan Pembahasan Teorema Sisa Cina

Jika hanya berpatokan pada teorema sisa cina dan membaca langkah-langkah penyelesaiannya, tentunya masih akan membingungkan. Berikut diberikan beberapa contoh soal terkait teorema sisa cina dilengkapi dengan pembahasannya.

Contoh Soal 1

Pak Riko memiliki sejumlah durian yang baru saja dipetik dari halaman belakang rumahnya. Jika ia memasukkan 5 buah durian masing-masing ke dalam sejumlah karung secukupnya, maka akan ada 2 buah durian yang masih tersisa.

Jika ia memasukkan 6 buah durian masing-masing ke dalam sejumlah karung secukupnya, maka masih ada sisa 4 buah durian. Tentukan berapa banyak durian yang dimiliki paling sedikit oleh Pak Riko?

Pembahasan:

1. Informasi pada soal dapat dituliskan secara sistematis seperti berikut.

• Memasukkan 5 durian dan bersisa 2 durian ditulis :     x ≡ 2 (mod 5)
• Memasukkan 6 durian dan bersisa 4 durian ditulis :     x ≡ 4 (mod 6)
• Perhatikan bahwa k = 1, 2 dan a₁ = 2, a₂ = 4, b₁ = 5, b₂ = 6

2. Selanjutnya ditentukan FPB(5,6) yaitu 1 sehingga sistem kongruensi linier tersebut mempunyai solusi

3. Menentukan b = 5 x 6 = 30 dan diperoleh

• B₁ = 30 / 5 = 6
• B₂ = 30 / 6 = 5

4. Dengan demikian diperoleh

• 6x₁ ≡ 1 (mod 5)
• 5x₂ ≡ 4 (mod 6)

5. Menentukan solusi untuk 6x₁ ≡ 1 (mod 5)

• 6x₁ ≡ 1 (mod 5)    ekuivalen dengan    6x₁ – 1 = 5k
• Untuk nilai k = 1 maka diperoleh nilai x₁ = 1

6. Menentukan solusi untuk 5x₂ ≡ 4 (mod 6)

• 5x₂ ≡ 1 (mod 6)    ekuivalen dengan    5x₂ – 1 = 6k
• Untuk nilai k = 4 maka x₄ = 5

7. Berdasarkan teorema sisa cina diperoleh solusi

• x ≡ ((2 x 6 x 1) + (4 x 5 x 5)) (mod 30)
• x ≡ (12 + 100) (mod 30)
• x ≡ 112 (mod 30)
• x ≡ 22 (mod 30)

8. Solusi dari sistem kongruensi linier pada soal adalah x ≡ 22 (mod 30). Dan dapat disimpulkan bahwa banyaknya durian yang dipanen oleh Pak Riko paling sedikit sebanyak 22 buah.

Contoh Soal 2

Selesaikan sistem kongruensi linier berikut menggunakan teorema sisa cina!

x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)

Pembahasan:

1. Dari sistem kongruensi linier tersebut diperoleh k = 1, 2, 3 dan a₁ = 3, a₂ = 2, a₃ = 4, b₁ = 4, b₂ = 3, b₃ = 5,

2. Memeriksa apakah sistem mempunyai solusi

• FPB(4,3) = FPB(4,5) = FPB(3,5) = 1 , maka sistem kongruensi ini mempunyai solusi

3. Menentukan b = 4 x 3 x 5 = 60 dan diperoleh

• B₁ = 60 / 4 = 15
• B₂ = 60 / 3 = 20
• B₃ = 60 / 5 = 12

4. Dengan demikian diperoleh

• 15x₁ ≡ 1 (mod 4)
• 20x₂ ≡ 1 (mod 3)
• 12x₃ ≡ 1 (mod 5)

5. Menentukan solusi untuk 15x₁ ≡ 1 (mod 4)

• 15x₁ ≡ 1 (mod 4)    ekuivalen dengan    15x₁ – 1 = 4k
• Untuk nilai k = 11 maka x₁ = 3

6. Menentukan solusi untuk 20x₂ ≡ 1 (mod 3)

• 20x₂ ≡ 1 (mod 3)     ekuivalen dengan    20x₂ – 1 = 3k
• Untuk nilai k = 13 maka x₂ = 2

7. Menentukan solusi untuk 12x₂ ≡ 1 (mod 5)

• 12x₃ ≡ 1 (mod 5)     ekuivalen dengan    12x₃ – 1 = 5k
• Untuk nilai k = 7 maka x₃ = 3

8. Berdasarkan teorema sisa cina diperoleh solusi

• x ≡ ((3 x 15 x 3) + (2 x 20 x 2) + (4 x 12 x 3)) (mod 60)
• x ≡ (135 + 80 + 144) (mod 60)
• x ≡ 359 (mod 60)
• x ≡ (59 mod 60)

9. Solusi dari sistem kongruensi linier pada soal adalah x ≡ (59 mod 60).

Contoh Soal 3

Tentukan sebuah bilangan yang jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2, dan jika dibagi 7 bersisa 3!

Pembahasan:

Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian berdasarkan teorema sisa cina.

1. Informasi pada soal dapat dituliskan secara sistematis seperti berikut.

• Jika dibagi 3 bersisa 1 ditulis :     x ≡ 1 (mod 3)
• Jika dibagi 5 bersisa 2 ditulis :     x ≡ 2 (mod 5)
• Jika dibagi 7 bersisa 3 ditulis :     x ≡ 3 (mod 7)
• Perhatikan bahwa k = 1, 2, 3 dan a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, b₁ = 3, b₂ = 5, b₃ = 7

2. Memeriksa apakah sistem mempunyai solusi

• FPB(3, 5) = FPB(3, 7) = FPB(5, 7) = 1 , maka sistem kongruensi ini mempunyai solusi

3. Menentukan b = 3 x 5 x 7 = 105 dan diperoleh

• B₁ = 105 / 3 = 35
• B₂ = 105 / 5 = 21
• B₃ = 105 / 7 = 15

4. Dengan demikian diperoleh

• 35x₁ ≡ 1 (mod 3)
• 21x₂ ≡ 1 (mod 5)
• 15x₃ ≡ 1 (mod 7)

5. Menentukan solusi untuk 35x₁ ≡ 1 (mod 3)

• 35x₁ ≡ 1 (mod 3)    ekuivalen dengan    35x₁ – 1 = 3k
• Untuk nilai k = 23 maka x₁ = 2

6. Menentukan solusi untuk 21x₂ ≡ 1 (mod 5)

• 21x₂ ≡ 1 (mod 5)     ekuivalen dengan    21x₂ – 1 = 5k
• Untuk nilai k = 4 maka x₂ = 1

7. Menentukan solusi untuk 15x₃ ≡ 1 (mod 7)

• 15x₃ ≡ 1 (mod 7)     ekuivalen dengan    15x₃ – 1 = 7k
• Untuk nilai k = 2 maka x₃ = 1

8. Berdasarkan teorema sisa cina diperoleh solusi

• x ≡ ((1 x 35 x 2) + (2 x 21 x 1) + (3 x 15 x 1)) (mod 105)
• x ≡ (70 + 42 + 45) (mod 105)
• x ≡ 157 (mod 105)
• x ≡ 52 (mod 105)

9. Solusi dari sistem kongruensi linier pada soal adalah x ≡ 52 (mod 105).

10. Jadi, bilangan yang jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2, dan jika dibagi 7 bersisa 3 adalah 52.

The post Teorema Sisa Cina: Sejarah – Isi dan Contoh Soalnya appeared first on HaloEdukasi.com.