Memahami dan menguasai konsep ini menjadi kunci untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan kompleks antara variabel-variabel tersebut. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi sifat-sifat dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel, metode penyelesaiannya, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel merujuk pada kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Dalam matematika, persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel dengan pangkat yang hanya satu, dan tidak ada produk atau pangkat yang lebih tinggi dari variabel tersebut.

Dalam konteks sistem persamaan linear tiga variabel, tiga persamaan tersebut biasanya berbentuk:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di mana x, y, dan z adalah variabel-variabel yang tidak diketahui, sementara a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui.

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan mencari nilai-nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa berupa satu titik tunggal, beberapa titik, atau tidak ada titik sama sekali.

Pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel sangat penting karena memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis berbagai situasi nyata yang melibatkan tiga faktor yang saling terkait.

Bentuk Umum SPLTV

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dapat dinyatakan sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di sini, x, y, dan z mewakili variabel-variabel yang tidak diketahui dalam SPLTV. Sedangkan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui, dan d₁, d₂, d₃ adalah konstanta-konstanta yang diketahui.

Bentuk umum SPLTV ini menunjukkan hubungan linear antara tiga variabel dan memungkinkan kita untuk menganalisis sistem tersebut. Dalam pemecahan SPLTV, tujuan utamanya adalah menemukan nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan.

Solusi dari SPLTV dapat berupa:

Tidak ada solusi: Ketika ketiga persamaan saling bertentangan dan tidak ada titik yang memenuhi ketiganya.

Solusi unik: Ketika ketiga persamaan membentuk sebuah titik tunggal yang memenuhi semuanya.

Solusi tak terhingga: Ketika ketiga persamaan saling bergantung satu sama lain dan membentuk garis atau bidang yang memiliki banyak titik yang memenuhi semuanya.

Bentuk umum SPLTV menjadi dasar dalam menerapkan metode penyelesaian yang sesuai untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Berikut adalah beberapa metode umum yang sering digunakan:

1. Metode Substitusi

Metode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lain. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

2. Metode Eliminasi

Metode ini melibatkan mengeliminasi satu variabel secara bertahap dengan menggabungkan persamaan-persamaan dalam sistem. Caranya adalah dengan mengalikan atau menambahkan persamaan-persamaan tersebut sehingga variabel yang ingin dieliminasi menghilang. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

3. Metode Matriks dan Operasi Baris Elementer

Dalam metode ini, SPLTV diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan koefisien-koefisien dalam sistem. Kemudian, operasi baris elementer, seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, atau menambahkan baris, digunakan untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk yang lebih mudah dipecahkan. Akhirnya, matriks tersebut dipecahkan menggunakan metode invers, determinan, atau eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi SPLTV.

4. Metode Cramer

Metode ini menggunakan determinan-determinan untuk mencari solusi SPLTV. Setiap variabel diperlakukan sebagai penentu tunggal dalam sistem persamaan. Dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks hasil, determinan-determinan ini dihitung dan dibagi dengan determinan utama untuk mendapatkan nilai-nilai variabel.

Pemilihan metode penyelesaian SPLTV tergantung pada kompleksitas sistem dan preferensi pribadi. Dalam prakteknya, kombinasi dari beberapa metode di atas juga dapat digunakan untuk menemukan solusi SPLTV dengan efisien.

Contoh Soal SPLTV

Berikut adalah contoh soal SPLTV beserta jawabannya:

Soal:

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

2x + y – z = 5

x – 3y + 2z = -4

3x + 2y + 4z = 2

Jawaban:

Kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan kedua:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

2x – 6y + 4z = -8

Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (2x – 6y + 4z) = 15 – (-8)

4x + 9y – 7z = 23

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan ketiga:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

6x + 4y + 8z = 4

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (6x + 4y + 8z) = 15 – 4

-y – 11z = 11

Mengeliminasi variabel y dari persamaan kedua dan ketiga:

Kali persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan 3.

2x – 6y + 4z = -8

9x + 6y + 12z = 6

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua yang sudah dikalikan.

(9x + 6y + 12z) – (2x – 6y + 4z) = 6 – (-8)

7x + 12z = 14

Sekarang kita memiliki tiga persamaan:

4x + 9y – 7z = 23

-y – 11z = 11

7x + 12z = 14

Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi lanjutan, kita dapat mencari nilai-nilai variabel. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan:

x = 3

y = -2

z = 1

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = -2, dan z = 1.

Secara keseluruhan, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan alat yang penting dalam matematika terapan. Dengan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dunia nyata yang melibatkan hubungan antarvariabel.

Dalam memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel, kita menggunakan metode dan teknik matematis yang membantu kita mencari solusi yang konsisten dan memuaskan. Melalui pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat mengidentifikasi pola, hubungan, dan ketergantungan antarvariabel yang kompleks.

Sistem persamaan ini dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita perlu menganalisis hubungan kompleks antara tiga variabel yang saling mempengaruhi.

Dengan menggunakan konsep dan metode yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang akurat dan relevan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang sistem persamaan ini memberikan landasan yang kuat bagi pengembangan pengetahuan matematika kita dan membantu kita memecahkan masalah yang lebih kompleks di masa depan.

The post Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) appeared first on HaloEdukasi.com.

Dengan mempelajari materi ini, maka kita akan mengerti perhitungan matematika terkait dengan peluang atau bahkan suatu prediksi angka yang akan muncul sebagai perhitungan matematika.

Selain itu, perhitungan tersebut juga dapat dikaitkan dengan ilmu lainnya yaitu Fisika.

Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linier satu variabel (PLSV) merupakan salah satu sub disiplin ilmu yang ada di dalam disiplin ilmu matematika, yang mana sub disiplin ilmu tersebut merupakan kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat 1.

Bentuk Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linier satu variabel (PLSV) memiliki bentuk persamaan yaitu ax + b = o, yang mana bentuk umum ini akan dijadikan acuan dalam menghitung persamaan linier satu variabel.

Contoh:

x – 2 = 6
3a + 4 = 25

Dengan syarat bahwa x, a, b merupakan variabel yang dapat diganti dengan berbagai bilangan yang memenuhi syarat.

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Kebalikan dari persamaan linier satu variabel, bahwa pertidaksamaan linier satu variabel merupakan kalimat terbuka yang menggunakan lambang (<), (>), (≥), dan (≤) dengan catatan bahwa kalimat tersebut hanya memuat satu variabel dengan derajat satu dan hanya memiliki satu variabel saja yaitu (y) berderajat satu.

Contoh:

y + 8 < 8
3y + 1 > y + 4

Sifat Sifat Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Berikut ini adalah sifat-sifat pertidaksamaan linier satu variabel:

• Jika terdapat kedua ruas pada suatu pertidaksamaan itu ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
• Jika suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif.
• Jika pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negative, namun dengan catatan bahwa arah dari tanda pertidaksamaan dibalik arah hadapnya.
• Jika pertidaksamaan mengandung pecahan dan cara menyelesaikannya yaitu dengan mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya dapat hilang

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian 4x – 8 > 3x + 3. Jika x merupakan anggota {1,2,3,4, …., 15}

Jawab:

4x – 8 > 3x + 3; x € {1,2,3,4, …., 15}
4x – 3x – 8 > 3x – 3x + 3 (kedua ruas ditambah -2x)
x – 8 > 3
x – 8 + 8 > 3 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
x > 11

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 11; x bilangan asli ≤ 15.

HP = {12, 13, 14, 15}

Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 < 2x + 4, dengan x merupakan variabel pada himpunan bilangan cacah.

Jawab:

4x – 2 < 2x + 4
4x – 2 + 2 < 2x + 4 + 2 (kedua ruas ditambah 2)
4x < 2x + 6
4x – 2x < 2x – 2x + 6 (kedua ruas ditambahi -2x)
2x < 6
x < 6/2
x < 3

Karena x merupakan anggota bilangan cacah, maka yang memenuhi x < 3 adalah {0,1,2}

Jadi, HP = {0,1,2}.

The post Persamaan Linear Satu Variabel: Bentuk – Pertidaksamaan dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

ax + by = c

Dalam istilah matematika huruf a, b, dan c disebut konstanta. Sementara x dan y disebut variabel.

Misal: 4x – y = 4 (3 – y ) + 2x

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel, yaitu dua buah persamaan linear yang memiliki dua variabel dengan satu penyelesaian.

Secara umum, sistem persamaan linear dua variabel memiliki bentuk sebagai berikut:

A1x +B1 y = C1  atau  A2x +B2y = C2

A1, B1,  A2, B2 disebut sebagai koefisien. Sementara x dan y disebut variabel.

Contoh soal sebagai berikut:

x – y =4 
x + y = 10

Kedua persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian yaitu (7,3) maka persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear dua variabel.

Penyelesaian Sistem persamaan Linear Dua Variabel

Ada beberapa sistem persamaan linear dua variabel yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal, misalnya:

1. Metode Substitusi

Dengan metode ini kita dapat menggantikan suatu variabel ke persamaan yang lain.
Contoh:

2x – y = 10
x + y = 5

Cara penyelesaiannya adalah:

Ubahlah menjadi 2x – 10 = y

Selanjutnya subsitusikan menjadi:

X + (2x - 10) = 5
5x – 10 = 5
3x = 15
X = 5

2. Metode Eliminiasi

Metode ini dapat dilakukan dengan  menghilangkan salah satu variabelnya. Misalnya:

2x – y = 10
x + y = 5

Untuk menyelesaikan soal ini kita bisa menghilangkan variabel x.

2x – y = 10 | x 1 |2x – y = 10
x + y = 5 |x 2 | 2x + 2y = 10
-5 y = 0
y = 0

Selanjutnya kita bisa hilangkan variabel y

2 x – y  = 10
x + y = 3
3x = 15
x = 5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 5 dan y = 0, ditulis HP = {(5,0)}.

3. Metode Grafik

Dalam metode ini, kita akan menggambar grafik dari kedua persamaan. Titik potong kedua grafik tersebut adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.

Misal:

2x – y = 10
x + y = 5

Sebelumnya kita gambar dulu grafik persamaan 2x – y = 10 tersebut.

Tentukan terlebih dahulu titik potong grafik terhadap sumbu X dan sumbu Y.

• Titik potong terhadap sumbu X, maka y= 0

2x – y = 10
2x – 0 = 10
2x = 10
x = 5

• Titik potong terhadap sumbu Y, maka  x = 0.

• x + y = 5
• 0 + y = 5
• y = 5

Titik potong terhadap Y adalah (0,5).

4. Metode campuran dari metode eliminasi dan substitusi

Metode campuran dari eliminasi dan subtitusi juga dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh soal sebagai berikut.

2x – y = 5
x + y = 5

Dalam metode ini kita hilangkan variabel x:

2x – y = 10 |x 1 |2x – y  = 10
x + y = 5 |x 2 | 2x + 2y = 10
-5y = 0
y = 0

Dalam metode subtitusi kita masukkan dulu nilai y = 0 ke persamaan yang pertama atau ke persamaan yang kedua, misalkan nilai y = 0 dimasukkan ke persamaan pertama.

2x – 0 = 10
2x = 10
x  = 5

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel diatas adalah x = 5 dan y = 0, dituliskan HP = {(5,0)}.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Harga 4 buah gelas dan 14 buah piring adalah Rp. 58.000,00. berapakah harga 4 lusin gelas dan 8 piring?

Jawab:

Misalkan, harga sebuah gelas dilambangkan x dan harga sebuah piring dilambangkan y. Maka persamaannya adalah:

8x + 6y   = Rp50.000,00
4x + 14y = Rp 58.000,00

The post Persamaan Linear Dua Variabel: Sistem – Penyelesaian dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.