Siapa sajakah tokoh-tokoh hebat penemu rumus-rumus dalam matematika tersebut? Berikut adalah matematikawan beserta biografinya.

1. Pythagoras

Pythagoras merupakan tokoh matematikawan sekaligus filsuf yang lahir di Pulau Samos, Ionia, Yunani. Pythagoras lahor pada tahun 570 M. Ia merupakan tokoh yang sangat terkenal dengan teoremanya hingga dijuluki sebagai “bapak bilangan”.

Pyhtagoras aktif dalam memberikan buah pikirannya terkait filsafat dan keagamaan pada akhir abad ke 6 sebelum masehi. Ia suka berkelana untuk berguru hingga ke segala penjuru dunia. Ia menjelajah Arab, Mesir, Babilonia, India, bahkan Italia.

Pythagoras tumbuh dengan menjadi murid dari banyak filsuf diantaranya adalah Heraclitus, Plutarch, Thales, dll.

Salah satu perjalanannya yaitu ke Mesir. Para imam di Mesir dibuat takjub dengan kecerdasan Pythagoras, mereka tidak bisa menjawab pertanyaan yang diajukan Pythagoras.

Meski begitu ia tetap merupakan murid di Mesir. Pythagoras mempelajari ilmu Astronomi dengan para imam Caldei, ilmu Logistik dan Geometri kepada para imam Phoenesia, ilmu ritus-ritus mistik dengan para Magi, dan dengan Zarathustra Pythagoras belajar ilmu perlawanan.

Meski berkelana ke segala penjuru dunia, Pythagoras akhirnya kembali ke Samos pada tahun 530 Masehi. Namun dirinya tidak sejalan dengan pemerintahan Polycrates dan pindah ke Croton yang saat ini bernama Italia. Polycrates dianggap menghambat ajaran Pythagoras.

Di Croton Pythagoras mendirikan sekolah di mana murid-muridnya disebut dengan Pythagorean. Di sekolah ini Pythagoras menerapkan ajarannya yaitu meyakini bahwa semua hal yang ada di alam semesta ini dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan.

Pythagoras mencoba mengutak-atik ilmu yang ia dapatkan seperti ilmu relasi-relasi antar sisi segitiga. Hingga akhirnya ia berhasil menemukan rumus ”teorema pyhtagoras” yang bahkan masih digunakan hingga saat ini.

Sebenarnya ilmu tentang relasi segi tiga siku-siku sudah ada sejak ribuan tahun sebelum Pythagoras lahir. Namun penghargaan tersebut diberikan kepadanya karena Pythagoras lah yang pertama kali berhasil membuktikannya secara matematis.

Pythagoras membawa pemahaman ini ke Yunani dan mengubah Yunani menjadi pusat ilmu pengetahuan pada saat itu.

2. Thales

Thales lahir pada 624 sebelum Masehi jauh sebelum Pythagoras lahir. Thales lahir di sebuah kota di Asia kecil yang bernama Miletus. Ia dikenal sebagai ahli Geometri dan Astronomi.

Salah satu pemikiran Thales yang paling penting adalah mengenai air merupakan prinsip dasar dan Theorema Thales.

Sebelum Thales memulai buah pemikirannya, orang-orang mengaitkan segala sesuatunya dengan hal-hal mitologis. Kemudian pemikiran ini berubah sejak abad ke 6, Thales mencoba menjelaskan segala sesuatu dengan rasio manusia.

Thales juga merupakan saudagar yang gemar berlayar. Suatu hari ia berlayar ke Mesir dan di sana Thales mempelajari tentang ilmu ukur. Ia bahkan dapat mengetahui tinggi piramida dengan mengukur bayangannya.

Ia juga berhasil memprediksi waktu munculnya gerhana matahari yaitu dengan memadukan ilmu Geometri dan Astronomi. Ilmu ini kemudian dibawa ke Yunani dan membuatnya menjadi sangat terkenal.

Selain teori Geometri dan Astronomi, Thales juga berhasil menemukan  pemahaman yang diberi nama “Teorema Thales”. Teori ini berisi:

• Diameter, yaitu garis yang melewati titik pusat lingkaran sehingga terbagi menjadi dua
• Ukuran sudut alas segitiga sama kaki sama besar
• Dua garis sejajar apabila dipotong oleh sebuah garis yang menyilang maka akan memiliki sudut yang sama besar
• Apabila dalam sebuah segitiga terdapat dua garis maka akan menghasilkan segitiga sebangun

3. Diophantus

Diophantus merupakan seorang matematikawan yang hidup pada tahun 200 sebelum Masehi di kota Alexandria. Ia lah tokoh yang berjasa dalam pengembangan ilmu aljabar di Babilonia.

Hasil pengembangannya ini ditulis dalam buku berjudul ”Arithmetica”atau dalam bahasa Indonesia biasa disebut “aritmatika”

Pengembangan aljabar tersebut berupa persamaan-persamaan yang hingga kini masih digunakan. Persamaan tersebut diberi nama “Persamaan Diophantin”.  

Persamaan ini dapat menyelesaikan persamaan bilangan bulat dan kemungkinan memiliki jawaban lebih dari satu alias tidak terbatas.

Ia memecahkan masalah dengan metode yang berbeda dari yang lainnya. Metode yang digunakan adalah dengan memberi simbol pada sesuatu yang belum diketahui. Tipe persamaan inilah yang kemudian disebut dengan “Syncopalet”.  

Model penulisan aljabar milik Diophantus merepresentasikan polynominal yang sudah diketahui. Pemahamannya ditulis ke dalam 16 buku namun sayangnya hanya sedikit buku yang terbaca. Salah satu karyanya yang paling sukses berjudul “Preliminaries to the Geometric Elements”.

Karyanya ini membawa pengaruh besar terhadap kehidupan matematika di Arab dan di Eropa. Pemahaman Diophantus terbukti menjadi landasan dasar bagi matematika canggih.

Karya-karya inilah yang membuat Diophantus dinobatkan sebagai “bapak aljabar”.

4. Apollonius

Apollonius merupakan ilmuwan yang lahir di Perga, Phampylia, Turki. Kota ini sekarang bernama Murtina. Ia merupakan penemu dari konsep parabola, hiperbola, dan ellips. Sebenarnya Apollonius merupakan seorang geometer yaitu ahli ukur tanah.

Namun ternyata karya-karyanya berpengaruh besar terhadap bidang matematika. Tidak banyak sumber yang menjelaskan bagaimana kehidupan Apollonius namun beberapa sumber mengatakan ia pergi ke Alexandria pada saat ia masih muda.

Apollonius belajar di bawah bimbingan para pengikut Euclides. Ia pun sempat mengajar di sana. Setelah itu ia pergi ke Pergamun yaitu kota yang ada di Yunani Kuno. Di sana terdapat universitas dan perpustakaan besar.

Tujuan Apollonius ke Pergamun yaitu untuk mempelajari perpustakaan dan universitas tersebut agar dapat membangun perpustakaan yang lebih bagus di Alexandria.

Apollonius bertemu dengan penulis buku “History of Geometry” yaitu Eudemeus dan juga Raja Attalus I yaitu raja dari Pergamun.  Hal ini tertuliskan dalam kata pengantar di buku karyanya.

Buku Apollonius yang pertama berjudul  “Conics” atau “kerucut”.  Bukunya menjelaskan tentang dasar-dasar kurva secara lengkap. Hal ini tidak dilakukan oleh pengarang-pengarang sebelumnya.

Dalam buku ini juga membahas tentang theorema dan transformasi koordinat.

Pemahaman ini berdasarkan pada sistem tangen dan diameter. Buku ke dua berisi tentang tangent dan diameter yang merupakan lanjutan dari buku pertamanya.  

Buku Apollonius yang ke tiga merupakan buku yang paling sukses karena. Buku ini berisi pemahaman yang bahkan belum dibahas oleh Euclid. Pembahasan tersebut tentang theorema yang digunakan untuk menyelesaikan operasi sintesis dan penentuan limit.  

Buku ke-empatnya berisi tentang keinginan Apollonius yang ingin menunjukkan cara kerucut saling memotong bagian-bagiannya.

Istilah Apollonius yang masih digunakan hingga saat ini adalah “parabola” yaitu istilah untuk  menyebut sudut kanan kerucut. “Elips” yaitu untuk menyebut luas bidang persegi panjang yang hasilnya kurang ketika disetarakan dengan bagian garis tertentu.

Sedangakan “hiperbola” adalah kebalikan dari “elips” dan “parabola” digunakan untuk menyebut hasil yang tidak mengindikasikan baik kurang maupun lebih.

Istilah tersebut  ditulis dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal, (0,0), sistem Kartesian, adalah y² = lx (l = “latus rectum” atau parameter) sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.

5. Leonhard Euler

Euler merupakan seorang matematikawan dan fisikawan asal Swiss. Bauh pemikirannya yang paling penting adalah kalkulus, teori graf, terminology matematika modern, notasi dan analisis matematika. Euler lahir pada tahun 1707 di Basel Switzerland.  

Ia berhasil menjadi mahasiswa di Universitas Basel pada usianya yang baru menginjak 13 tahun. Euler pun menerima gelar sebagai “Master of Philosophy”.

Ayahnya mendesak Euler untuk menjadi seorang pastor namun guru lesnya yaitu Johann Bernauli menyadari kecerdasan Euler dalam bidang matematika dan berhasil membujuk ayah Euler.

Di usianya yang ke dua puluh tahun Euler diundang untuk bergabung ke Akademi Ilmu Pengetahuan di St. Petersburg. Ia pun menerimanya dan tiba di sana pada 17 mei 1727.

Karirnya di sana terus mengalami peningkatan hingga akhirnya ia berhasil menjabat sebagai Kepala Departemen Matematika pada tahun 1733.

Pada tahun 1741 ia berpindah ke Berlin dan bergabung dengan Akademi Ilmu Pengetahuan di sana. Cukup lama ia menghabiskan waktunya di Berlin yaitu sekitar 25 tahun.

Namun pada tahun 1766 Euler mengalami musibah yang menimpa pada kedua matanya.Ke dua mata Euler mengalami kebutaan. Bahkan dalam kondisi seperti itu ia tetap melakukan penelitian terhadap matematika hingga akhir hayatnya.

Pemahaman matematika Euler yaitu teori gerak benda keras, deret tak terbatas, hydrodinamika, dinamika benda keras, penjumlahan Euler, keseimbangan diferensial, transformasi Euler, rangkaian trigonometri, variasi kalkulus dan mekanika, dan Formula Euler Maclurin.

Karya-karyanya tersebut ditulis ke dalam 32 buah buku. Selain itu Euler juga berhasil menganalisa matematika untuk menyelesaikan masalah astronomi khususnya mengenai “tiga-badan”. 

Teori ini mengelaskan tentang bagaimana Matahari, Bumi, dan Bulan bergerak dengan gaya berat masing-masing yang sama.

The post 5 Tokoh Ilmuwan Matematika dan Penemuannya appeared first on HaloEdukasi.com.

Lalu apa itu FPB? Bagaimana cara mencari FPB? Berikut pembahasannya.

Apa itu Faktor Persekutuan Terbesar?

Faktor persekutuan terbesar atau biasa disingkat dengan FPB merupakan faktor terbesar pada suatu bilangan bulat positif yang sama pada banyaknya bilangan yang dimaksud.

FPB harus mampu membagi habis kedua bilangan tersebut. Banyaknya bilangan bisa 2 bilangan, 3 bilangan, atau lebih.

Contoh:

Nilai FPB 2 bilangan dari 16 dan 20. Hal pertama yang harus kita lakukan adalah carilah faktor  bilangan pembagi dari 16 dan 20.

16  = 1, 2, 4, 8, 16
20  = 1, 2, 4, 5, 10, 20

Dari kedua faktor bilangan 16 dan 20 diatas didapatkan bahwfaktor bilangan terbesar adalah 4. Jadi, FPB dari 16 dan 20 adalah 4.

Rumus mencari FPB

Pada faktor persekutuan terbesar (FPB) memiliki dua cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan faktor persekutuan sederhana dan dengan faktorisasi prima atau pohon faktor.

Keduanya memiliki dasar yang sama hanya memudahkan kamu dalam bentuk visual.

1. Rumus mencari FPB dengan faktor persekutuan

Dalam mencari FPB dengan menggunakan faktor persekutuan, carilah nilai yang memiliki besaran bilangan yang sama dari kedua bilangan atau lebih.

Nilai yang sama adalah yang diambil paling besar dari faktor bilangan tersebut.

Mencari nilai FPB dengan cara ini kalian hanya perlu mengurutkan faktor pembaginya saja.

Contoh:

Carilah nilai FPB dari 12, 18, dan 36.

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, langkah pertama yang dilakukan adalah mengurutkan faktor pembagi dari masing-masing bilangan.

12         = 1, 2, 3, 4, 6, 12
18         = 1, 2, 3, 6, 9, 18
36         = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 36

Jadi, faktor pada ketiga bilangan di atas yang sama adalah 1, 2, 3, dan 6. Jadi, FPB dari 12, 18, dan 36 adalah 6.

2. Rumus mencari FPB dengan faktorisasi prima

Untuk mencari FPB dengan menggunakan cara faktorisasi prima tidak jauh berbeda dengan faktor persekutuan sederhana.

Hanya saja, dengan faktorisasi prima kamu bisa membuat faktornya berbentuk pohon atau juga tabel.

• Menggunakan pohon faktor

Contoh:

Carilah FPB dari 8 dan 12

Setelah membuatnya dalam bentuk pohon faktor, tulislah faktor pengali tersebut dalam bentuk pangka seperti di bawah ini.

8    = 2³
12  = 2² x 3

Dari hasil diatas, selanjutnya carilah faktor yang sama dari kedua bilangan tersebut. Karena faktornya ada 2 dan 3, yang sama adalah angka 2.

Pada bilangan 8 memilik faktor bilangan 2³ sedangkan 12 memiliki faktor bilangan 2², FPB dari kedua bilangan tersebut adalah angka yang nilainya terkecil. Jadi, FPB dari bilangan 8 dan 12 adalah 2² = 4.

• Menggunakan tabel

Mencari FPB dengan menggunakan tabel sama dengan faktorisasi prima menggunakan pohon faktor.

Hanya saja dalam bentuk tabel. Supaya lebih mudah, simak contoh berikut.

Dari tabel di atas, untuk mengetahui FPB gunakan angka yang bisa dibagi untuk keduanya, yaitu 2×2. Jadi, dapat disimpulkan bahwa FPB dari 8 dan 12 adalah 4.

Contoh soal dan Pembahasan

1. Carilah faktor persekutuan terbesar dari 15, 30, dan 60 menggunakan faktor persekutuan!

Jawab:

15  = 1, 3, 5, 15
30  = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
60  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Dari faktor pembagi ketiga bilangan tersebut yang sama adalah 1, 2, 5, dan 15.

Karena FPB adalah nilai yang terbesar, jadi dipilih 15. Maka, FPB dari 15, 30, dan 60 adalah 15.

2. Gunakan pohon faktor untuk mencari FPB dari 9 dan 27!

Jawab:

Dari hasil di atas di dapatkan faktor dari 9 adalah 3² dan faktor dari 27 adalah 3³.

Nilai terkecil dari pangkatnya adalah 3². Jadi, FPB dari 9 dan 27 adalah 3²= 9

3. Carilah FPB dari 20 dan 40 menggunakan tabel.

Jawab:

Dari tabel di atas didapatkan faktor yang sama adalah 2 x 2. Maka FPB dari 20 dan 40 adalah 4.

The post Faktor Persekutuan Terbesar: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Ada beberapa bilangan pada matematika diantaranya bilangan pecahan, bilangan bulat, desimal hingga bilangan cacah.

Setelah membahas operasi bilangan bulat hingga pecahan, kali ini akan kita bahas dengan jelas mengenai apa itu bilangan cacah.

Selain itu di akhir pembahasan akan dijabarkan mengenai contoh soal dan jawabannya.

Pengertian Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan bilangan yang dimulai dari angka 0 dan terus bertambah 1 angka setelahnya.

Bilangan cacah juga berisi angka-angka positif.

Maka dari itu bilangan-bilangan cacah disebut juga himpunan bilangan bulat bukan negatif.

Ciri-ciri Bilangan Cacah

Ada beberapa ciri menonjol yang membedakan bilangan cacah dengan bilangan lainnya, antara lain:

• Bilangan cacah tidak memiliki angka negatif.
• Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat positif.
• Urutan bilangan cacah selalu dimulai dari angka 0.
• Urutan bilangan cacah akan selalu ditambah 1 dari angka sebelumnya.
• Angka 0 pada bilangan cacah dianggap sebagai angka genap.
• Lambang bilangan cacah adalah C.

Contoh Bilangan Cacah

Setelah mengetahui ciri-ciri bilangan cacah, berikut ini adalah contoh-contohnya:

• Contoh bilangan cacah yang kurang dari 10

C = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

• Contoh bilangan cacah yang kurang dari sama dengan 20

C = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20)

• Contoh bilangan cacah ganjil

C = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ….)

• Contoh bilangan cacah genap

C = (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ….)

• Contoh bilangan cacah kelipatan 3

C = (3, 6, 9, 12, 15, 18, ….)

Operasi Hitung Bilangan Cacah

1. Penjumlahan

Ada beberapa sifat dalam operasi penjumlahan bilangan cacah, antara lain:

• Sifat Pertukaran (Komutatif)

Sifat ini menggambarkan bila bilangan cacah ditukar posisi, maka hasilnya tetap sama.

x + y = y + x

Contohnya:

4 + 2 = 2 + 4

• Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Sifat ini merupakan penggambaran operasi hitung pada 3 buah bilangan yang hasilnya sama meski 2 buah bilangan lain manapun dijumlah terlebih dahulu.

(x + y) + z = x + (y + z)

Contohnya:

(3 + 4) + 2 = 3 + (4 + 2)

• Sifat Identitas

Sifat ini merupakan gambaran bilangan yang apabila ditambahkan dengan 0 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

x + 0 = 0 + x

Contohnya:

5 + 0 = 0 + 5

• Sifat Tertutup

Sifat ini menggambarkan bahwa bilangan cacah apabila ditambah dengan bilangan cacah lainnya maka akan menghasilkan bilangan cacah pula.

Contohnya:

1 + 2 = 3

2. Pengurangan

Operasi pengurangan pada bilangan cacah sama seperti operasi penjumlahannya, yakni:

x - y = z <=> y + z = x

Contohnya:

6 + 2 = 4 <=> 2 + 4 = 6 

3. Perkalian

Ada beberapa sifat dalam operasi perkalian bilangan cacah, antara lain:

• Sifat Pertukaran (Komutatif)

Sifat ini menggambarkan bila bilangan cacah ditukar posisi, maka hasilnya tetap sama.

x * y = y * x

Contohnya:

4 * 2 = 2 * 4

• Sifat Pengelompokan (Asosiatif)

Sifat ini merupakan penggambaran operasi hitung pada 3 buah bilangan yang hasilnya sama meski 2 buah bilangan lain manapun dikalikan terlebih dahulu.

(x * y) * z = x * (y * z)

Contohnya:

(3 * 4) * 2 = 3 * (4 * 2)

• Sifat Identitas

Sifat ini merupakan gambaran bilangan yang apabila dikalikan dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

x * 1 = 1 * x

Contohnya:

5 * 1 = 1 * 5

Selain itu, bila dikalikan dengan 0 maka hasilnya 0.

x * 0 = 0

Contohnya:

5 * 0 = 0

• Sifat Penyebaran (Distributif)

Sifat ini menggambarkan 1 bilangan dalam operasi perkalian yang mana terdapat operasi penjumlahan atau operasi pengurangan antara 2 bilangan lainnya.

x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

x * (y - z) = (x * y) - (x * z)

Contohnya:

2 * (4 + 3) = (2 * 4) + (2 * 3)

2 * (4 - 3) = (2 * 4) - (2 * 3)

4. Pembagian

Ada 2 sifat dalam operasi pembagian bilangan cacah, antara lain:

• Operasi hitung pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian.

x : y = z <=> y * z = a

Contohnya:

8 : 4 = 2 <=> 4 * 2 = 8

• Bila bilangan cacah dibagi 0 maka hasilnya tidak terdefinisi dan bila 0 dibagi bilangan cacah maka hasilnya 0.

x : 0 = tak terdefinisi

0 : x = 0

Contohnya:

5 : 0 = tak terdefinisi

0 : 5 = 0

5. Campuran

Operasi hitung campuran bilangan cacah merupakan operasi hitung pada bilangan cacah yang terdiri dari penjumlahan, pengurangan , perkalian maupun pembagian.

Ada beberapa syarat dalam mengerjakan operasi campuran,a antara lain:

• Hitung terlebih dahulu yang berada di dalam tanda ()

x + y - (a + b)

Contohnya:

2 + 3 - (1 + 1) 

= 2 + 3 - 2

• Dahulukan bilangan perkalian dan pembagian, baru penjumlahan dan pengurangan.

x * y + z

Contohnya:

2 * 3 + 4 

= 6 + 4

• Jika kedudukan sama (semisal pengurangan bertemu penjumlahan atau perkalian bertemu pembagian) dan tidak menemukan tanda operasi hitung seperti dalam kurung (), maka dahulukan perhitungan dari kiri ke kanan.

x * y : z

x + y - z

Contohnya:

6 * 2 : 4

= 12 : 4

6 + 2 - 4

= 12 - 4

Contoh Soal dan Pembahasan Bilangan Cacah

1. Tina diminta ibunya pergi ke minimarket membeli beberapa belanjaan diantaranya 10 bungkus kopi, 25 bungkus mie instan, 5 kaleng sarden.

Lalu ibunya menelfon dan meminta untuk mengambil 5 kaleng sarden lagi dan meletakkan 5 bungkus mie instan.

Ketika sampai di rumah, ibunya meminta untuk membelikan 5 kaleng sarden kembali.

Berapa total keseluruhan belanjaan Tina?

Diketahui:
x = 10 bungkus kopi
y = 25 bungkus mie instan (dikembalikan 5 bungkus)
z = 5 kaleng sarden (3 kali pengambilan)

Ditanyakan:
Total belanjaan…?

Jawab:

Total = x + y - 5 + z * 3

= 10 + 25 - 5 + 5 * 3

= 10 + 25 - 5 + 15

= 35 - 5 + 15

= 30 + 15

= 45

Jadi total keseluruhan belanjaan Tina adalah 45 buah.

2. Hitunglah hasil dari operasi campuran 3 * (4 + 3)!

x * (y + z)
 = (x * y) + (x * z)
 = (3 * 4) + (3 * 3)
 = 12 + 9
 = 21

3. Berapa total mainan mobil-mobilan yang dimiliki Andi sebelumnya jika kelima temannya diberikan masing-masing 8 mobil mainan miliknya dan saat ini dia hanya memiliki 10 mobil-mobilan?

Diketahui:
x = jumlah teman Andi = 5 orang
y = jumlah mobil mainan yang didapatkan masing-masing anak = 8 buah
z = jumlah mobil mainan Andi = 10 buah

Ditanyakan:
Total mainan Andi…?

Jawab:

x * y + z

= 5 * 8 + 10

= 40 + 10

= 50

Jadi total mainan Andi sebelumnya berjumlah 50 buah.

4. Ubahlah bilangan cacah 15 * 24 + 15 * 12 menjadi sifat distributif dan carilah hasilnya!

Diketahui:

Sifat distributif = x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

15 * 24 + 15 * 12 = (x * y) + (x * z)
x = 15
y = 24
z = 12

Ditanyakan:
Sederhanakan ke bentuk distributif dan cari hasilnya…?

Jawab:

(x * y) + (x * z) =  x * (y + z)
15 * 24 + 15 * 12
= 15 * (24 + 12)
= 15 * 36
= 540

Jadi bentuk sederhana menggunakan sifat distributif dari bilangan cacah 15 * 24 + 15 * 12 adalah 15 * (24 + 12) dan hasilnya adalah 540.

The post Bilangan Cacah: Pengertian – Operasi Hitung dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Pengertian Bangun Datar Belah Ketupat

Belah ketupat merupakan bangun datar yang terbentuk dari 4 buah sisinya yang sama panjang. Bangun datar ini memiliki 2 pasang sudut berhadapan yang sama besar.

Sifat-sifat Belah Ketupat

Seperti bangun datar pada umumnya, belah ketupat juga memiliki sifat-sifat tertentu seperti berikut.

• Belah ketupat memiliki 4 buah sisi yang sama panjangnya. Pada gambar di atas yang disebut sisi adalah AB, BC, CD, dan DA.
• Memiliki diagonal yang sama panjang dengan bentuk tegak lurus seperti d1 dan d2
• Memiliki sudut yang saling berhadapan dengan besar yang sama. ∠DAB memiliki besaran sudut sama seperti ∠BCD. Sedangkan ∠ABC memiliki besaran yang sama dengan ∠CDA.
• Besar keempat sudutnya jika dijumlah adalah 360⁰.

Rumus menghitung Belah Ketupat

Setiap bangun datar memiliki rumus tertentu yang harus dipahami, begitu juga dengan belah ketupat.

Kali ini akan dibahas rumus menghitung luas dan keliling bangun datar belah ketupat.

• Luas belah ketupat

Yang disebut dengan luas adalah area dalam belah ketupat yang dibatasi oleh sisi. Untuk menghitung luas dapat digunakan rumus berikut:

Luas (L) = ½ x diagonal 1 x diagonal 2
         = ½ x d1 x d2

• Keliling belah ketupat.

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, yang disebut sisi adalah bagian yang berhuruf s.

Untuk mengetahui keliling sebuah belah ketupat dapat menjumlahkan semua sisinya. Maka untuk mendapatkan keliling dapat digunakan rumus berikut:

Keliling (k) = sisi AB + sisi BC +  sisi CD +  sisi DA

Karena semua sisi pada belah ketupat memiliki sisi yang sama, maka dapat disimpulkan:

Keliling (k) = 4 x s

• Sisi

s = Kll ÷ 4

• Diagonal 1

D1 = 2 × L ÷ d2

• Diagonal 2

D2 = 2 × L ÷ d1

Contoh soal Belah Ketupat

1. Sebuah taman berbentuk belah ketupat akan ditanami rumput oleh petugas. Berapa keliling lahan yang berumput jika taman tersebut memiliki panjang sisi 15 m?

Diketahui:
P= 15 m

Ditanya: Keliling…?

Jawab:

Keliling (k) = 4 x s
             = 4 x 15
             = 60 m

Jadi, keliling lahan taman yang akan ditanami rumput adalah 60 m.

2. Berapakah panjang diagonal belah ketupat ABCD jika belah ketupat tersebut memiliki luas 1600 cm2? Sedangkan diketahui salah satu diagonalnya adalah 60 dm.

Diketahui:
L= 1600 cm2
D1= 60 dm

Ditanya: D2…?

Jawab:
Samakan terlebih dulu satuan panjangnya ke dalam cm. sehingga menjadi:

Diagonal (d1)= 10 dm = 100 cm
Luas (L)     = 1600 cm2

Luas (L) = ½ x d1 x d2
1600     = ½ x 100 x d2
1600     = 50 x d2
D2       = 1600/50
D2       = 32 cm

Jadi, panjang diagonal bangun belah ketupat ABCD adalah d1 = 100 cm dan d2 = 32 cm.

3. Diketahui keliling sebuah belah ketupat ABCD adalah 52 cm dengan panjang salah satu diagonalnya adalah 24 cm. Berapakah luas belah ketupat tersebut?

Diketahui:
D1= 24 cm
K= 52 cm

Ditanya: Luas…?

Jawab:
Karena diketahui keliling, maka terlebih dahulu carilah panjang sisinya.

K  = 4 x s
52 = 4 x s
S  = 52/4
S  = 13 cm

Setelah diketahui sisi belah ketupat tersebut, untuk mendapatkan besaran luas belah ketupat carilah panjang diagonal 2. Dengan cara sebagai berikut:

AC    = d1
BD    = d2

AT  = ½ x 24
    = 12 cm

Untuk mengetahui diagonal yang kedua, dapat dicari menggunakan rumus phytagoras.

AD² = AT² + DT²
13² = 12² + DT²
DT² = 13² - 12²
DT  = √169 – 144
    = √25
    = 5 cm

Sehingga untuk diagonal BD adalah 5 x 2 = 10 cm. Maka dengan demikian dapat diketahui luas belah ketupat:

Luas (L) = ½ x d1 x d2
         = ½ x 24 x 10
         = 120 cm2

Jadi, luas belah ketupat ABCD adalah 120 cm2.

The post Bangun Datar Belah Ketupat: Sifat – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Sering menggunakan bola setidaknya juga tahu pengertian bola, unsur pada bola, beserta rumusnya.

Pengertian Bangun Ruang Bola

Bola merupakan bangun ruang tiga dimensi yang tersusun dari bangun datar berupa lingkaran yang tidak terhingga dengan jari-jari yang sama panjangnya dan berpusat pada satu titik.

Bola memiliki sisi yang sama pada tiap permukaannya maka dari itu dapat disimpulkan bahwa bola hanya memiliki 1 sisi.

Bola dapat dinyatakan dengan besaran jari-jari atau diameter. Yang dimaksud dengan jari-jari (radius) bola adalah jarak antar permukaan bola dengan titik pusat pada bola.

Sedangkan yang dimaksud dengan diameter adalah jarak garis lurus diantara permukaan terluar bola dengan permukaan terluar diujung lainnya.

Maka, dapat disimpulkan bahwa diameter merupakan 2 kali panjang jari-jari bola tersebut.

Sifat-sifat Bola

Sifat bola, diantaranya:

• Terdapat 1 sisi
• Terdapat 1 titik pusat
• Tidak terdapat sudut pada bagiannya
• Jari-jarinya tak terhingga.

Unsur-unsur bola

Setiap bangun ruang memiliki unsur atau syarat agar dapat dikatakan sebuah bangun ruang.

Pada bola sebuah bangun ruang dapat dikatakan bola apabila memenuhi unsur-unsur berikut:

• Bola tidak memiliki rusuk. Karenanya bola dikelilingi oleh garis lengkung disepanjang permukaannya.
• Bola tidah memiliki sudut karena terdiri atas lingkaran yang tak terhingga.
• Bola hanya memiliki 1 sisi dan 1 titik pusat
• Bola memiliki suatu diameter yang sama dengan 2 kali panjang jari-kari
• Bola memiliki 1 sisi lengkung yang tertutup

Jaring-jaring bola

Bola adalah bangun ruang yang tidak memiliki rusuk. Contoh bola pada kehidupan sehari-hari adalah bola sepak, bola tenis, bola basket, dan lain sebagainnya.

Untuk membuat jaring-jaring dapat dibuat berupa irisan-irisan yang berbentuk menyerupai punggung daging buah jeruk. Jaring-jaring bola dapat dilihat seperti gambar berikut :

Rumus menghitung Bola

Setiap bangun ruang tentunya dapat dihitung luas permukaan dan volume benda tersebut. Pada bola dapat digunakan rumus berikut ini:

• Luas permukaan ½ bola

L= Luas persegi panjang
 = p x l
 = 2 x π x r x r
 = 2 x π x r2

• Luas Permukaan Bola Penuh

L= 2 x luas permukaan ½ bola
 = 2 x 2 x π x r2
 = 4 x π x r2

Keterangan:
4 = 4 kali luas area lingkaran yang dimiliki radius sama
Π = phi (22/7 atau 3,14)
r  = jari-jari atau radius

• Volume

½ volume bola = 1/3 x π x r2 x t
Volume (v)    = 2/3 x π x r2 x 2r
              = 4/3 x π x r3

Contoh soal Bangun Ruang Bola

1. Suatu bangun ruang bola memiliki jari-jari sebesar 7cm. hitunglah volume bola tersebut!

Diketahui:
r= 7cm

Ditanya: Volume…?

Jawab:

Volume (v) = 4/3 x π x r3
           = 4/3 x 3,14 x 7 x 7 x 7
           = 1436 cm3

Jadi, volume bola tersebut adalah 1436 cm3.

2. Bola basket Andi memiliki panjang jari-jari sebesar 9 cm. Berapa luas permukaan bola basket Andi?

Diketahui:
r= 9 cm

Ditanya: Luas…?

Jawab:

L= 4 x π x r2
 = 4 x 3,14 x 9 x 9
 = 1017,36 cm2

Jadi, luas permukaan pada bola Andi adalah 1017,36 cm2

3. Saat pelajaran olahraga Hadi tidak sengaja merusak bola sepak milik Andi. Karena merasa tidak enak, Hadi berniat untuk menggantinya dengan yang sama persis. Bola Andi memiliki panjang keliling sebesar 60-64 cm. Berapa volume bola minimal dan maksimal yang harus dibeli Hadi?

Diketahui:
K= 60-64 cm

Ditanya: Volume bola minimal dan maksimal…?

Jawab:

Untuk mengetahui volume bola minimal dan maksimal, carilah terlebih dulu volume bola dengan keliling 60 cm dan 64 cm. Dengan mengetahui keliling, carilah jari-jari dari tiap keliling tersebut.

• Jari-jari volume bola minimal

K= 2 x π x r 60               
 = 2 x π x r 60                
 = 2 x 3,14 x r 60 / ( 2 x 3,14)  
r= 9,55 cm

Setelah diketahui jari-jari bola minimal 9,55 cm, maka dapat dicari volume bola minimal tersebut.

• Volume bola minimal

Volume (v)  = 4/3 x π x r3
V           = 4/3 x 3,14 x 9,55 x 9,55 x 9,55
            = 3646,5 cm3

Jadi, volume bola minimal adalah 3646,5 cm3.

• Jari-jari volume bola maksimal

Keliling (k)    = 2 x π x r
64              = 2 x 3,14 x r
64 / (2 x 3,14) = r
r               = 10,2 cm

Setelah diketahui jari-jari bola maksimal 10,2 cm, maka dapat dicari volume bola minimal tersebut.

• Volume bola maksimal

Volume (v)     = 4/3 x π x r3
V              = 4/3 x 3,14 x 10,2 x 10,2 x 10,2
               = 4442,9 cm3

Jadi, volume bola maksimal adalah 4442,9 cm3.

The post Bangun Ruang Bola: Unsur – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas pengertian layang-layang, sifat layang-layang, rumus, beserta contoh soalnya.

Apa itu Bangun Datar Layang-layang?

Layang-layang merupakan sebuah bangun datar yang terbentuk dari 2 pasang segitiga sama kaki dengan ukuran panjangnya sama dan saling membentuk sudut yang berbeda.

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa sisi a dan b memiliki panjang yang sama.

Begitu pula dengan sisi d dan c memiliki panjang yang sama. Selain itu, bangun datar layang-layang harus memiliki diagonal yang berbeda ukuran seperti d1 dan d2.

Ciri-ciri Layang-layang

Ciri-ciri layang-layang diantaranya:

• Memiliki dua pasang sisi yang sama panjang
• Terdapat satu simetri lipat dan putar
• Sudut A ama dengan sudut C.

Sifat layang-layang

Seperti bangun datar yang lainnya, layang-layang memiliki sifat sebagai berikut:

• Bangun datar yang memiliki 4 sisi.
• Memiliki 2 pasang sisi yang dapat membentuk sebuah sudut yang berbeda.
  • Pada sisi a dan b membentuk sudut ∠ABC
  • Pada sisi c dan d membentuk sudut ∠ADC
• Memiliki beberapa pasang sudut yang berhadapan dengan besar yang sama, yaitu ∠BAD dan ∠ BCD
• Memiliki 2 diagonal yang panjangnya berbeda
• Memiliki diagonal yang saling tegak lurus membentuk siku-siku 90⁰
• Diagonal yang paling panjang adalah sumbu simetri layang-layang
• Hanya memiliki 1 sumbu simetri.

Rumus menghitung Bangun Datar Layang-layang

Pada bangun datar layang-layang, rumus yang harus dipahami adalah luas dan keliling.

• Luas layang-layang

Luas (L) = ½ x d1 x d2

• Keliling layang-layang

Keliling (K) = 2 x s1 + 2 x s2

Atau dengan

Keliling (K) = 2 x (s1 + s2) 

• Diagonal 1

d1 = 2 × L ÷ d2

• Diagonal 2

d2 = 2 × L ÷ d1

• Mencari a atau b

a = (½ × Kll) – c

• Mencari c atau d

c = (½ × Kll) – a

Contoh soal

1. Budi dan Andi membuat layang-layang dengan menggunakan krangka dari bambu dan kertas. Jika kertas yang dimiliki Budi adalah 1250 cm2, berapa panjang kerangka bambu yang dibutuhkan Budi dan Andi?

Diketahui:        
Luas (L) = 1250 cm2

Ditanya: Panjang…?

Jawab:

L        = 1/2 x d1 x d2
1250     = ½ x d2
1250 x 2 = d2
d2       = 2500
d        = √2500
d        = 50

Jadi, panjang kerangka bambu yang di butuhkan Budi dan Andi untuk membuat layang-layang adalah 2 buah bambu dengan masing-masing panjang 50 cm.

2. Anton mendapat tugas sekolah membuat layang-layang untuk mata pelajaran kesenian. Ia ingin membuat 3 buah layang-layang dengan warna yang berbeda. Layang-layang biru memiliki panjang diagonal adalah 40 cm dan 50 cm. Layang-layang merah memiliki panjang diagonal 80 cm dan 115 cm. Berapa kertas dan bambu yang dibutuhkan Anton, jika Anton memiliki kertas biru 250 cm2 dan kertas merah 200 cm2?

• Layang-layang Biru

Diketahui:               
Diagonal 1 (d1)  = 40 cm
Diagonal 2 (d2)  = 50 cm

Ditanya: Jumlah…?

Jawab:

Luas (L) = 1/2 x d1 x d2
L        = ½ x 40 x 50
         = ½ x 2000
         = 1000cm2

Kebutuhan kertas untuk membuat layang-layang biru adalah 1000 cm2, tetapi Anton telah memiliki kertas biru 250 cm2, maka Anton perlu membeli kertas biru sebanyak…

1000 – 250 = 750 cm2

Untuk membuat layang-layang biru, Anton memerlukan bambu sepanjang…

Kebutuhan bambu = 40 + 50
                = 90 cm

Jadi, untuk membuat layang-layang biru Anton membeli kertas 750 cm2 dan bambu sepanjang 90cm.

• Layang-layang merah

Diketahui:                     
Diagonal 1 (d1)  = 80 cm
Diagonal 2 (d2)  = 115 cm

Ditanya: Jumlah…?

Jawab:

Luas (L) = 1/2 x d1 x d2
L        = ½ x 80 x 115
         = ½ x 9200
         = 4600 cm2

Kebutuhan kertas untuk membuat layang-layang biru adalah 4600 cm2, tetapi Anton telah memiliki kertas merah 200 cm2, maka Anton perlu membeli kertas merah sebanyak…

4600 – 200 = 4400 cm2

 Untuk membuat layang-layang biru, Anton memerlukan bambu sepanjang…

Kebutuhan bambu = 80 + 115
                = 140 cm

Jadi, untuk membuat layang-layang biru Anton membeli kertas 4400 cm2 dan bambu sepanjang 140 cm.

3. Ibu membeli hiasan dinding dengan bentul layang-layang. Hiasan tersebut memiliki diagonal 20 cm dan 15 cm. Berapa panjang keliling hiasan tersebut?

Diketahui:
S1= 20 cm
S2= 15 cm

Ditanya: Panjang keliling…?

Jawab:

Keliling (k) = 2 x (s1 + s2)
             = 2 x (20 + 15)
             = 2 x 35
             = 70 cm

Jadi, hiasan ibu memiliki panjang 70 cm.

The post Bangun Datar Layang-layang: Sifat – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Seperti botol air mineral, tabung lpg, galon, dll. Tapi, pernahkah kamu berpikir bagaimana cara menghitung luas permukaaannya?

Atau menghitung isi volumenya? Nah, berikut ini kita akan belajar lebih lanjut mengenai tabung.

Pengertian Tabung

Tabung memiliki istilah lain yaitu silinder. Tabung merupakan bangun ruang tiga dimensi yang mempunyai alas dan tutup berbentuk lingkaran yang sejajar beserta selimut yang berbentuk persegi panjang.

Tabung memiliki dua rusuk yang berada pada alas dan tutupnya. Tabung tidak memiliki titik sudut.

Sifat-sifat Tabung

Tabung memiliki beberapa sifat, diantaranya:

• Terdapat 2 garis melengkung
• Tidak terdapat titik sudut dalam bagiannya
• Terdapat 2 sisi berbentuk lingkaran dan bagian melengkung.

Unsur-unsur Tabung

Untuk dapat disebut tabung, ada beberapa unsur-unsur yang harus dipenuhi. Berikut ini unsur-unsur tabung.

• Memiliki dua sisi yang berbentuk lingkaran pada alas dan penutupnya. Pada gambar diatas ditunjukkan dengan huruf P1 dan P2.
• Memiliki selimut tabung yang berbentuk persegi panjang jika dibuka memanjang.
• Memiliki diameter (d). Tabung memiliki alas dan tutup yang berbentuk lingkarana, kedua sisi ini memiliki diameter yang beguna untuk menghitung volume. Yang disebut diameter lingkaran alas adalah ruas AB untuk diameter alas dan ruas CD untuk diameter tutup.
• Memiliki jari-jari lingkaran (r). Pada gambar diatas yang disebut jari-jari adalah P1A dan P1B pada alas dan P2C dan P2D pada tutup.
• Memiliki tinggi. yang disebut tinggi pada tabung adalah ruas AD, BC, dan P1P2

Jaring-jaring tabung

Tabung merupakan salah satu bangun ruang. Setiap bangun ruang memiliki beberapa kumpulan bangun datar yang disebut jaring-jaring.

Jaring-jaring pada tabung terdiri atas dua lingkaran pada alas dan tutup tabung dan persegi panjang pada selimut tabung.

Rumus menghitung tabung

• Luas permukaan tabung

Yang disebut permukaan pada tabung meliputi alas dan tutup yang berbentuk lingkaran dan selimut tabung yang berbentuk persegi panjang.

Dengan begitu untuk mengetahui luas permukaan dapat dihitung dengan menjumlahkan luas ketiganya.

Luas permukaan = luas alas + luas tutup + luas selimut tabung
               = πr2 + πr2 + 2 πrt
               = 2 πr (t + r)

• Volume tabung

Setiap bangun ruang pastinya memiliki volume, termasuk tabung. Volume tabung dapat dihitung dengan rumus berikut:

Volume = luas alas x tinggi
                = πr2 x t 

• Luas Selimut

Luas selimut = 2 × π × r × t

• Luas Alas

Luas alas = π × r × r

• Luas tanpa tutup

L tanpa tutup= Luas alas + Luas selimut

• Jari-jari diketahui volume

• Jari-jari diketahui Luas Selimut

• Jari-jari diketahui Luas Permukaan

• Tinggi diketahui Volume

• Tinggi diketahui Luas Selimut

• Tinggi diketahui Luas Permukaan

Contoh soal mengenai Tabung

1. Sebuah penampungan air yang berbentuk tabung memiliki diameter berukuran 2m. Jika tinggi penampungan tersebut adalah 4m, maka berapa volume air yang mampu ditampung penampungan tersebut?

Diketahui:
d= 4m
t= 4m

Ditanya: Volume…?

Jawab:

V  = πr2 x t
   = 3,14 x 1 x 1 x 4
   = 12,56 m3

Jadi, penampungan air tersebut mampu menampung air sebanyak 12,56 m3

2. Seorang bapak penjual bensin menuangkan 52 liter bensin ke dalam drum yang berbentuk tabung. Drum tersebut memiliki jari-jari 35 cm dan baru terisi setengahnya. Berapa tinggi drum tersebut? (jangan lupa untuk menyamakan satuan terlebih dulu).

Diketahui:
V= 52 liter = 52000 cm3
r= 35cm

Ditanya: tinggi…?

Jawab:

V       = πr2 x t
52000   = 3,14 x 10 x 10 x t
5200    = 314 x t
t       = 5200/314
t       = 16,66 cm

Karena masih terisi setengah, maka untuk mengetahui tinggi drum keseluruhan harus dikali 2.

t drum = 16,66 x 2
       = 33,32

Jadi, tinggi drum tersebut adalah 33,32 cm

3. Sebuah tabung memiliki jari-jari 3cm dan tinggi 15 cm. maka berapa luas permukaan tabung tersebut?

Diketahui:
r= 3 cm
t= 15 cm

Ditanya: Luas permukaan…?

Jawab:

L  = 2 πr (t + r)
   = 2 x 3,14 x 3 x (15 + 3)
   = 18,84 x 18
   = 339,12 cm2

Jadi, luas permukaan tabung adalah 339,12 cm2.

The post Tabung: Unsur – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Salah satu contohnya saat ini adalah dalam penggunaan teknologi. Tetapi, sebelum mempelajari logaritma, apakah kamu tahu apa itu logaritma dan bagaimana sejarahnya?

Pengertian Logaritma

Secara umum, logaritma adalah suatu kebalikan atau invers dari perpangkatan. berikut ini beberapa penjelasan logaritma menurut beberapa ahli.

Menurut Muhammad bin Musa al-Khawarizmi, logaritma adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sebuah permasalahan dengan cara yang lebih mudah dipahami.

Menurut Donald E. Knuth, logaritma merupakan kumpulan aturan yang memberikan deretan operasi yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah.

Menurut Rinaldi Munir, logaritma adalah  sebuah urutan langkah yang membantu seseorang dalam menyelsaikan masalah.

Sejarah Logaritma

Logaritma berasal dari kata algorismi, yang merupakan latinisasi dari nama penemunya, yaitu seorang ahli matematika, Muhammad bin Musa al-Khawarizmi (770-850).

Al Khawarizmi menerbitkan karyanya pertama kali dengan judul Al-Jam Wal-Tafriq bi Hisab Al-Hind.

Pada tahun 1612, John Napier (1550-1617) bersama Joost Burgi (1552-1632) menemukan sistem yang bernama logaritma.

Saat ini, temuannya tersebut lebih dikenal dengan sebutan logaritma Napier (Napier Logarithms).

Ahli matematika berkebangsaan inggris tersebut membuat table yang diukir pada gading yang kemudian disebut Naper’s Bones.

Butuh waktu sekitar 20 tahun bagi Napier untuk menemukan idenya dan menerbitkannya dalam sebuah karya berjudul Minifici Logarithmorum Canonis Descriptio tahun 1614.

Dengan adanya logaritma mereka mengerjakan perkalian dan pembagian yang sulit dengan cepat dan mudah.

Sifat-sifat Logaritma

Berikut ini sifat logaritma:

Sifat-sifat Persamaan Logaritma

• Sifat logaritma perkalian

Suatu logaritma baru dihasilkan dari penjumlahan dua logaritma dengan nilai kedua numerusnya merupakan faktor dari nilai numerus awal.

• Perkalian logaritma

Logaritma a dapat dikalikan logaritma b, jika nilai numerus logaritma a sama dengan bilangan pokok logaritma b.

hasil tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b.

• Sifat pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan­ dua logaritma yang nilai kedua numerusnya adalah pecahan atau pembagian dari nilai munerus logaritma awal.

• Sifat logaritma berbanding terbalik

Logaritma berbanding terbalik adalah saat logaritma lain memiliki nilai bilangan pokok dan numerusnya saling bertukar.

• Logaritma berlawanan tanda

Sebuah sifat dimana sebuah logaritma mempunyai numerusnya yaitu pecahan terbalik dari nilai numerus logatitma awal.

• Sifat perpangkatan

Sifat perpangkatan merupakan sifat dengan nilai numerusnya merupakan sebuah pangkat dan dapat dijadikan sebagai logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi pengali.

• Perpangkatan bilangan pokok logaritma

Perpangkatan bilangan pokok logaritma merupakan sifat dengan nilai bilangan pokoknya adalah pangkat yang dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi pembagi.

• Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus adalah sifat yang nilai numerusnya merupakan pangkat dari nilai bilangan pokoknya memiliki nilai hasil sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.

• Perpangkatan logaritma

Sifat perpangkatan logaritma merupakan sifat dengan bilanan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma.

Hasil nilai pangkatnya adalah nilai dengan numerusnya berasal dari logarotma tersebut.

• Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma yang dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma.

Fungsi logaritma

Fungsi logaritma merupakan invers fungsi eksponen. Berikut model kesetaraan sifat logaritma dengan eksponen

Sifat kesetaraan bisa menunjukan bahwa grafik fungsi a log x = y sebagai hasil cerminan terhadap garis y = x dari grafik fungsi eksponen y = a (pangkat) x.

Hubungan logaritma dengan eksponen ditulis seperti berikut

Daftar logaritma

Jauh sebelum ada komputer, menghitung angka yang rumit menggunakan tabel logaritma.

Cara menggunakan Daftar Logaritma

• Ketahui basis terlebih dulu. Jika sudah langsung menuju angka sesuai basis.

• Temukan perpotongan baris dan kolom yang sesuai. Sesuai contoh, maka menuju baris 31 kolom 6. Maka didapatkan nilai 0,4997

• Sekarang lihatlah pada tabel yang memiliki kolom kecil. Lihat baris 31 kolom 3 (sesuai dengan satuan angka 63) = 0,4997+4=0,51

• Mencari bilangan bulat. Gunakan rumus:

Cara menggunakan Daftar Anti Logaritma

• Pisahkan karakterikstik dan mantissanya. Karakteristik adalah angka sebelum tanda titik desimal. Sedangkan mantissa adalah angka dibelakang titik desimal.
  Misal: 2.645
  Maka 2 adalah karakteristik dan 645 adalah mantissa.

• Ketahui basisnya
• Lalu hitunglah 10^x. Anti logaritmadari x apapun adalah basis^x. Perlu diketahui bahwa basis logaritma selalu 10.
  Jika mantissa 0 (jika angka dalam bilangan bulat). Kalikan saja 10 kali 10 beberapa kali.

Dalam contoh, anti logaritmanya adalah 10 x 2,6452. Yang apabila dihitung dengan kalkulator, maka hasilnya adalah 441,7.

Contoh Soal Logaritma

Jawab :

Cek basisnya terlebih dulu. Kedua persamaan di atas memiliki nilai basis yang sama, yaitu 2.

Gunakan sifat logaritma yang kedua untuk mendapatkan hasilnya.

Hasil 6 didapatkan dari 2 pangkat berapa yang menghasilkan 64.

Untuk soal ini tidak bisa langsung dikerjakan. Soal ini menggunakan sifat nomor 6.

The post Logaritma: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang terdiri dari dua angka, yaitu pembilang dan penyebut. Bentuk dari bilangan pecahan adalah:

Jenis-jenis Bilangan Pecahan

Menurut jenisnya, bilangan pecahan dibagi menjadi 4, yaitu:

• Pecahan Biasa

Pecahan biasa merupakan bilangan pecahan yang hanya terdiri dari pembilang dan penyebut saja.

Pecahan biasa dibagi menjadi 2, yaitu pecahan murni dan pecahan tidak murni (pecahan campuran).

• Pecahan murni

Pecahan murni adalah bentuk pecahan yang angka pembilang < penyebutnya.

• Pecahan tidak murni (pecahan campuran)

Pecahan tidak murni adalah bentuk pecahan yang angka pembilang > penyebutnya.

Pecahan tidak murni dapat disederhanakan menjadi pecahan campuran yang terdiri atas bilangan bulat, pembilang, dan penyebut. Contohnya seperti di bawah ini:

dikerjakan sama seperti 19 : 5. Jika memiliki sisa, maka angka sisa dijadikan pembilang dan angka pembagi dijadikan penyebut.

• Pecahan Desimal

Pecahan desimal adalah sebuah bilangan yang ditandai dengan tanda koma (,).

Dalam pengerjaannya, pecahan desimal bisa didapatkan dari hasil pembagian pembilang dan penyebut suatu bilangan pecahan.

Selain itu, ada beberapa aturan pembulatan yang harus kamu pahami.

Angka ≥ 5, dibulatkan keatas.

Contoh :

1. 0,58 dibulatkan menjadi 0,6 ;
2. 0,876 dibulatkan menjadi 0,88 ;
3. 0,4677 dibulatkan menjadi 0,468 ; dst.

Angka ≤ 5, dibulatkan kebawah.

Contoh :

1. 0,54 dibulatkan menjadi 0,5 ;
2. 0,874 dibulatkan menjadi 0,87 ;
3. 0,6451 dibulatkan menjadi 0,645 ; dst.

• Pecahan Persen

Pecahan persen merupakan pecahan dengan bilangan penyebut 100 yang disimbolkan dengan “%”.

Operasi Hitung Bilangan Pecahan

• Penjumlahan dan pengurangan

Langkah pertama yang harus dilakukan dalam mengerjakan penjumlahan dan perngurangan adalah menyamakan bilangan penyebutnya.

Jika sudah sama, bilangan pembilang dapat dikerjakan seperi biasa.

Tetapi, jika bilangan penyebutnya berbeda, samakan terlebih dahulu dengan mengalikan dengan angka yang sama.

• Perkalian dan pembagian

Sama seperti penjumlahan dan pengurangan. Jika memiliki penyebut yang sama, perkalian dapat dilakukan seperti biasa.

Khusus untuk pembagian, jadikan perkalian terlebih dahulu dengan memindahkan posisi pembilang menjadi penyebut dan sebaliknya.

Menyederhanakan Pecahan

Menyederhanakan pecahan dapat dilakukan dengan membagi angka pembilang dan penyebut dengan angka yang sama.

Mengubah Pecahan

• Pecahan ke desimal

Untuk mengubah bilangan pecahan ke desimal, ubah penyebut menjadi 10, 100, dst. Kalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama agar penyebut bernilai 10, 100, dst.

• Pecahan ke persen

Untuk mengubah pecahan ke persen kalikan pecahan dengan 100% seperti contoh dibawah ini.

Contoh Soal dan Pembahasan Bilangan Pecahan

1. Sederhanakan bilangan pecahan dibawah ini!

Jawab :

a. Karena bilangan pembilang lebih besar dari bilangan penyebut, maka pecahan ini termasuk kedalam pecahan tidak murni (pecahan campuran). Dapat dikerjakan seperti biasa 18 : 2 yang menghasilkan bilangan bulat karena tidak memiliki sisa. Maka  = 9

b. Bilangan pembilang lebih kecil dari bilangan penyebut, maka pecahan ini termasuk kedalam pecahan murni. Pembilang dan penyebut sama-sama dapat dibagi 11.

c. Jika dilihat, bilangan pembilang lebih besar daripada bilangan penyebut, maka pecahan ini termasuk kedalam pecahan tidak murni (pecahan campuran). Karena 40 : 8 masih memiliki sisa, maka angka sisa pembagian dapat dijadikan bilangan pembilang. Sedangkan angka pembagi dijadikan bilangan penyebut.

2. Ubah pecahan berikut kedalam bentuk persen!

Jawab:

a. Untuk merubah bentuk pecahan desimal ke persen, jadikan kedalam pecahan biasa (angka 10 berasa dari adanya satu angka di belakang koma). Kemudian kalikan pecahan ini dengan 100.

b. Karena sudah dalam bentuk pecahan biasa, pecahan ini dapat langsung dikalikan dengan 100.

c. Karena sudah dalam bentuk pecahan biasa, dapat langsung dikalikan dengan 100.

3. Urutkan pecahan berikut dari pecahan terkecil hingga pecahan terbesar

Jawab :

Untuk mengurutkannya, kita harus merubah semua pecahan menjadi pecahan biasa.

Setelah itu kita, karena bilangan penyebutnya tidak sama, kita samakan terlebih dahulu sama seperti bilangan yang paling besar, yaitu  100.

Maka, urutannya menjadi:

4. Kerjakan pecahan berikut!

Jawab :

a. Karena penyebut berbeda, samakan terlebih dahulu dengan mengalikannya.

b. Untuk mengerjakan pembagian, ubah ke bentuk perkalian terlebih dahulu.

c. Ubah pecahan campuran kedalam bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. Kemudian samakan penyebut dengan mengalikannya.

The post Bilangan Pecahan: Pengertian – Jenis dan Contohnya appeared first on HaloEdukasi.com.

Pengertian Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara merencanakan, menganalisis, menginpretasi, mengumpulkan, dan mempresentasikan data.

Jadi, secara keseluruhannya statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan data.

Statistika dan Statistik merupakan dua hal yang berbeda, karena statistik adalah data, sedangkan statistika adalah ilmu yang berkaitan dengan data yang bisa digunakan untuk mendeskripsikan atau menyimpulkan data.

Kegunaan Statistika

Berikut ini kegunaan dari statistika:

• Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, seperti ilmu alam (astronomi, biologi), ilmu sosial (sosiologi, psikologi), ilmu bisnis, ekonomi, dan industri.
• Pada pemerintahan digunakan sebagai sensus penduduk.
• Pengaplikasian pada zaman sekarang yang terkenal adalah polling (jajak pendapat), misalnya saat dilakukannya sebelum pemilu, quick count (hitung cepat saat pemilu).
• Artificial Intellegence.

Rumus menghitung Statistika Matematika

1. Rata-rata (Mean)

Nilai rata-rata hitung dan bisa dilakukan dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data tersebut.

Rumus mencari rata-rata (mean) terbagi menjadi 3 rumus, yaitu:

• Rumus rata-rata dari data tunggal

• Rumus rata-rata dari data dalam distribusi frekuensi

c. Rumus rata-rata gabungan

2. Modus

• Modus data tunggal

Cara menentukan modus data tunggal adalah:

“urutkan data untuk mengetahui data mana yang paling sering muncul. Maka, itulah modusnya“

• Modus data kelompok

3. Median (Nilai Tengah)

Rumus mencari Median adalah dibagi menjadi dua, yaitu:

• Rumus Median dari data yang belum dikelompokkan

Cara yang pertama adalah dengan mencari nilai data yang harus dikelompokkan terlebih dahulu dari yang terkecil hingga besar.
Kemudian, menggunakan rumus:

• Rumus Median dari data yang telah dikelompokkan

4. Modus

Rumus menghitung untuk mencari modus terbagi menjadi dua, yaitu:

• Rumus Modus dari Data yang belum dikelompokan.

Memiliki arti bahwa ukuran yang mempunyai frekuensi tertinggi yang dilambangkan dengan mo.

• Rumus Modus dari data yang sudah dikelompokan.

5. Jangkauan

Dalam sekelompok data kuantitatif akan ada nilai terbesar dan nilai terkecil.

6. Kuartil

Kuartil, adalah nilai yang membagi sekumpulan data yang telah disusun ke dalam 4 bagian sama besar.

Q1 : Kuartil Bawah
Q2 : Kuartil tengah (Median)
Q3 : Kuartil Atass

7. Simpangan Kuartil

Jangkauan dari ketiga kuartil itu sendiri, seperti yang diatas.

8. Simpangan Baku

Merupakan cara menghitung statistik dengan mendeskripsikan homogenitas suatu kelompok.

9. Simpangan Rata-rata

Rumus simpangan rata-rata cukup panjang, untuk sederhananya seperti di bawah ini:

Keterangan:
SR: Simpangan Rata-rata
x : rata-rata
xn : data ke-n
n : banyaknya data

Perhitungan dari simpangan rata-rata tentunya hasilnya akan selalu positif.

10. Ragam

Ragam digunakan untuk mengukur seberapa jauh kumpulan bilangan tersebar. Rumus ragam:

Contoh Soal Statistika Matematika

1. Data ulangan siswa kelas 12 ulangan matematika, disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut:

Hitunglah nilai modus bertasarkan tabel nilai ujian matematika kelas 12 B.

Penyelesaian:

Lihatlah terlebih dahulu dari tabel tersebut golongan nilai berapa yang memiliki frekuensi paling banyak.

Dilihat dari tabel tersebut menunjukan bahwa nilai:
50-59 frekuensi 12.

Diketahui:

Lo = 50 - 0,5 = 49,5
d1 = 12 - 8 = 4
d2 = 12 - 9 = 3

Mo = Lo + (d1 / d1 + d2 ) . c
Mo = 49,5 + ( 4 / 4 + 3) . 10
Mo = 49,5 + 40/7

2. Median dan rata-rata dari data yang terdiri dari 4 buah bilangan asli yang sudah diurutkan dimulai dari yang terkecil adalah angka 8.
Jika, selisih antara data yang paling besar dan yang paling kecil adalah 10, kemudian modusnya tunggal, maka hasil kali dari data pertama dan ketiga adalah…?

Penyelesaian:
Misalkan data yaitu, t,u, v, dan w.

Me = 8
(t+w)/2 = 8
t+w = 16....(1)

x̄ = 8
(t+u+v+w)/4 = 8
t+u+v+W = 32
u+v+16 = 32
u+v = 16....(2)

w - t = 10...(3)

Dari (1) dan (3) diperoleh t = 3, w = 13 sehingga diperloeh data 3, u, v, dan 13.

Dari persamaan (2) syaratnya adalah u + v = 16, tetapi harus memenuhi Me = 8 dan modus tunggal, sehingga diambil u = 7 dan r = 9

Maka, t.v = 3.9 = 27

3. Salah satu sebuah restoran di Kota Bandung mengamati dan menghitung waktu yang dibutuhkan oleh para karyawannya untuk menyajikan makanan kepada customer. Dari 11 pengamatan diperoleh data dalam second, yaitu:
50, 55, 40, 48, 62, 50, 48, 40, 42, 60, dan 38.
Tentukan kuartil ketiga dari data diatas!

Penyelesaian:
Pertama-tama hal yang harus dilakukan adalah urutkan dan pilah semua data yang disajikan leh soal, dan membagikan dalam 3 bagian, yaitu Kuartil atas, Kuartil tengah, dan Kuartil bawah.

38, 40, 40, 42, 48, 48, 50, 50, 55, 60, 62

Ada 11 data dan data ke 6 sebagai Q2 atau kuartil tengah (median) yaitu: 48.

Kuartil ketiga (kuartil atas) yaitu berada di sebelah kanan, dari data tersebut menunjukan bahwa datum tengahnya adalah 55.

The post Statistika Matematika: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.