Memahami dan menguasai konsep ini menjadi kunci untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan kompleks antara variabel-variabel tersebut. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi sifat-sifat dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel, metode penyelesaiannya, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel merujuk pada kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Dalam matematika, persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel dengan pangkat yang hanya satu, dan tidak ada produk atau pangkat yang lebih tinggi dari variabel tersebut.

Dalam konteks sistem persamaan linear tiga variabel, tiga persamaan tersebut biasanya berbentuk:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di mana x, y, dan z adalah variabel-variabel yang tidak diketahui, sementara a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui.

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan mencari nilai-nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa berupa satu titik tunggal, beberapa titik, atau tidak ada titik sama sekali.

Pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel sangat penting karena memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis berbagai situasi nyata yang melibatkan tiga faktor yang saling terkait.

Bentuk Umum SPLTV

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dapat dinyatakan sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di sini, x, y, dan z mewakili variabel-variabel yang tidak diketahui dalam SPLTV. Sedangkan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui, dan d₁, d₂, d₃ adalah konstanta-konstanta yang diketahui.

Bentuk umum SPLTV ini menunjukkan hubungan linear antara tiga variabel dan memungkinkan kita untuk menganalisis sistem tersebut. Dalam pemecahan SPLTV, tujuan utamanya adalah menemukan nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan.

Solusi dari SPLTV dapat berupa:

Tidak ada solusi: Ketika ketiga persamaan saling bertentangan dan tidak ada titik yang memenuhi ketiganya.

Solusi unik: Ketika ketiga persamaan membentuk sebuah titik tunggal yang memenuhi semuanya.

Solusi tak terhingga: Ketika ketiga persamaan saling bergantung satu sama lain dan membentuk garis atau bidang yang memiliki banyak titik yang memenuhi semuanya.

Bentuk umum SPLTV menjadi dasar dalam menerapkan metode penyelesaian yang sesuai untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Berikut adalah beberapa metode umum yang sering digunakan:

1. Metode Substitusi

Metode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lain. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

2. Metode Eliminasi

Metode ini melibatkan mengeliminasi satu variabel secara bertahap dengan menggabungkan persamaan-persamaan dalam sistem. Caranya adalah dengan mengalikan atau menambahkan persamaan-persamaan tersebut sehingga variabel yang ingin dieliminasi menghilang. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

3. Metode Matriks dan Operasi Baris Elementer

Dalam metode ini, SPLTV diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan koefisien-koefisien dalam sistem. Kemudian, operasi baris elementer, seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, atau menambahkan baris, digunakan untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk yang lebih mudah dipecahkan. Akhirnya, matriks tersebut dipecahkan menggunakan metode invers, determinan, atau eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi SPLTV.

4. Metode Cramer

Metode ini menggunakan determinan-determinan untuk mencari solusi SPLTV. Setiap variabel diperlakukan sebagai penentu tunggal dalam sistem persamaan. Dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks hasil, determinan-determinan ini dihitung dan dibagi dengan determinan utama untuk mendapatkan nilai-nilai variabel.

Pemilihan metode penyelesaian SPLTV tergantung pada kompleksitas sistem dan preferensi pribadi. Dalam prakteknya, kombinasi dari beberapa metode di atas juga dapat digunakan untuk menemukan solusi SPLTV dengan efisien.

Contoh Soal SPLTV

Berikut adalah contoh soal SPLTV beserta jawabannya:

Soal:

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

2x + y – z = 5

x – 3y + 2z = -4

3x + 2y + 4z = 2

Jawaban:

Kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan kedua:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

2x – 6y + 4z = -8

Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (2x – 6y + 4z) = 15 – (-8)

4x + 9y – 7z = 23

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan ketiga:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

6x + 4y + 8z = 4

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (6x + 4y + 8z) = 15 – 4

-y – 11z = 11

Mengeliminasi variabel y dari persamaan kedua dan ketiga:

Kali persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan 3.

2x – 6y + 4z = -8

9x + 6y + 12z = 6

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua yang sudah dikalikan.

(9x + 6y + 12z) – (2x – 6y + 4z) = 6 – (-8)

7x + 12z = 14

Sekarang kita memiliki tiga persamaan:

4x + 9y – 7z = 23

-y – 11z = 11

7x + 12z = 14

Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi lanjutan, kita dapat mencari nilai-nilai variabel. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan:

x = 3

y = -2

z = 1

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = -2, dan z = 1.

Secara keseluruhan, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan alat yang penting dalam matematika terapan. Dengan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dunia nyata yang melibatkan hubungan antarvariabel.

Dalam memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel, kita menggunakan metode dan teknik matematis yang membantu kita mencari solusi yang konsisten dan memuaskan. Melalui pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat mengidentifikasi pola, hubungan, dan ketergantungan antarvariabel yang kompleks.

Sistem persamaan ini dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita perlu menganalisis hubungan kompleks antara tiga variabel yang saling mempengaruhi.

Dengan menggunakan konsep dan metode yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang akurat dan relevan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang sistem persamaan ini memberikan landasan yang kuat bagi pengembangan pengetahuan matematika kita dan membantu kita memecahkan masalah yang lebih kompleks di masa depan.

The post Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) appeared first on HaloEdukasi.com.

Adapun materi yang akan dibahas yaitu linear, kuadrat, dan juga bentuk pecahan.

Dalam pembahasan ini tentunya akan ada contoh soal dan pembahasan yang nantinya akan mempermudah dalam memahami isi materi sistem persamaan. Simak penjelasannya dibawah ini.

Sistem Persamaan Linear

Persamaan linear yaitu sistem persamaan dimana pada setiap suku mengandung konstanta dengan variabel berderajat satu.

Suatu sistem persamaan linear dapat digambarkan menjadi sebuah grafik. Bentuk umum dari persamaan linear yaitu y = mx + b

Untuk menyelesaikan soal mengenai sistem persamaan linear dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya yaitu metode substitusi, eliminasi, metode campuran (substitusi dan eliminasi), dan juga dapat diselesaikan dengan metode grafik. Berikut ini penjelasan mengenai metode :

 1. Metode Substitusi

Cara pertama untuk menyelesaiakn sistem persamaan linear yaitu dengan metode substitusi.

Metode substitusi yaitu cara menyelesaikannya dengan mengganti salah satu dari peubah dari sebuah persamaan dan peubahnya didapatkan dari persamaan linear lainnya. Untuk lebih mempermudah simak contoh soal dibawah ini.

2. Metode Eliminasi

Metode eliminasi yaitu metode untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu perubahnya dengan cara menambahkan atau bisa juga mengurangi dengan tujuan untuk menyamakan koefisien yang nantinya akan dihilangkan.

3. Metode Campuran (metode eliminasi dan substitusi )

Maksud dari metode campuran ini yaitu menggabungkan metode substitusi dan juga eliminasi.

• Metode Grafik

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dapat menggunakan metode grafik yaitu dengan cara menggambarkan dua buah persamaan pada grafik kartesius, dengan himpunan penyelesaiannya didapatkan dari titik potong kedua garis tersebut.

Contoh Soal:

1. Diketahui dua buah persamaan yaitu 2x + 3y = 8 dan x + 2y = 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari soal tersebut!

Dalam menyelesaikan soal ini Anda bebas akan menyelesaikan dengan metode mana, yang akan dikerjakan disini dengan metode campuran.

• Langkah pertama yaitu dengan menggunakan metode eliminasi untuk mendapatkan nilai x

2x + 3y = 8
x + 2y = 5

Samakan penyebutnya agar bisa dilakukan pengurangan

2x + 3y = 8 | x2 | <=> 4x + 6y = 16
x + 2y = 5 | x3 | <=> 3x + 6y = 15

Setelah penyebut y sama maka kurangi sehingga didapatkan

x = 1

Setelah mendapatkan nilai x, maka substitusikan x pada persamaan (1) atau pun persamaan (2)

2x + 3y =8
2(1) + 3y = 8
3y = 8 - 2
y = 6/3
y =2

Maka himpunan penyelesainnya HP {1, 2}.

Sistem Persamaan Kuadrat

Yaitu sistem persamaan yang terdiri dari dua buah persamaan kuadrat atau memiliki derajat tertingginya dua.

Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu  y = ax² + bx + c dengan a ≠ 0 , a dan b merupakan koefisien dari x dan c merupakan konstanta atau suku bebas.

Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus.

• Memfaktorkan

Bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0. Nilai x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan kuadrat

• Melengkapkan kuadrat sempurna

Bentuk umum persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0 diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna dengan cara mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

• Mengguanakan rumus

Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu x_1,2 = { -b ± √(b² – 4ac) } / 2a

Contoh soal:

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat x² – 4x + 3 = 0

x2 – 7x + 10 = 0
(x – 5) (x – 2) = 0
x – 5 = 0 atau x – 2 = 0
x = 5   atau x = 2

Jadi, penyelesaian dari x² – 7x + 10 = 0 adalah 5 dan 2.

Sistem Persamaan Bentuk Pecahan

Dalam menyelesaikan soal persamaan sistem bentuk pecahan hampir sama dengan menyelesaikan soal Persamaan linear satu variabel yang membedakan hanya cara untuk menghilangkan bentuk pecahan dengan mengalikan kedua rumus dengan KPK dari penyebutnya, setelah itu cari dengan cara persamaan linear.

Untuk lebih mempermudah mengerti metode penyelesaian diatas, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal :

Diketahui persamaan 2x – 3/2 = 5/3

kalikan kedua ruas dengan KPK 2 dan 3

6 ( 2x - 3/2 ) = 6 (5/3)
12x - 9 = 10

lalu hilangkan 9 dengan menambahkan kedua ruas dengan 9

12x - 9 + 9 = 10 + 9
12x =19
x = 19 / 12

Maka himpunan penyelesaiannya yaitu {19/12}.

The post Macam-macam Sistem Persamaan: Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.