Memahami dan menguasai konsep ini menjadi kunci untuk memecahkan masalah yang melibatkan hubungan kompleks antara variabel-variabel tersebut. Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi sifat-sifat dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel, metode penyelesaiannya, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel merujuk pada kumpulan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang tidak diketahui. Dalam matematika, persamaan linear adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel dengan pangkat yang hanya satu, dan tidak ada produk atau pangkat yang lebih tinggi dari variabel tersebut.

Dalam konteks sistem persamaan linear tiga variabel, tiga persamaan tersebut biasanya berbentuk:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di mana x, y, dan z adalah variabel-variabel yang tidak diketahui, sementara a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, dan d₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui.

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan mencari nilai-nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel bisa berupa satu titik tunggal, beberapa titik, atau tidak ada titik sama sekali.

Pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel sangat penting karena memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis berbagai situasi nyata yang melibatkan tiga faktor yang saling terkait.

Bentuk Umum SPLTV

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dapat dinyatakan sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Di sini, x, y, dan z mewakili variabel-variabel yang tidak diketahui dalam SPLTV. Sedangkan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ adalah koefisien-koefisien yang diketahui, dan d₁, d₂, d₃ adalah konstanta-konstanta yang diketahui.

Bentuk umum SPLTV ini menunjukkan hubungan linear antara tiga variabel dan memungkinkan kita untuk menganalisis sistem tersebut. Dalam pemecahan SPLTV, tujuan utamanya adalah menemukan nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan.

Solusi dari SPLTV dapat berupa:

Tidak ada solusi: Ketika ketiga persamaan saling bertentangan dan tidak ada titik yang memenuhi ketiganya.

Solusi unik: Ketika ketiga persamaan membentuk sebuah titik tunggal yang memenuhi semuanya.

Solusi tak terhingga: Ketika ketiga persamaan saling bergantung satu sama lain dan membentuk garis atau bidang yang memiliki banyak titik yang memenuhi semuanya.

Bentuk umum SPLTV menjadi dasar dalam menerapkan metode penyelesaian yang sesuai untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Berikut adalah beberapa metode umum yang sering digunakan:

1. Metode Substitusi

Metode ini melibatkan mengisolasi salah satu variabel dalam salah satu persamaan, kemudian menggantikan variabel tersebut dalam persamaan lain. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

2. Metode Eliminasi

Metode ini melibatkan mengeliminasi satu variabel secara bertahap dengan menggabungkan persamaan-persamaan dalam sistem. Caranya adalah dengan mengalikan atau menambahkan persamaan-persamaan tersebut sehingga variabel yang ingin dieliminasi menghilang. Proses ini dilakukan berulang kali hingga ditemukan solusi yang memenuhi semua persamaan.

3. Metode Matriks dan Operasi Baris Elementer

Dalam metode ini, SPLTV diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan koefisien-koefisien dalam sistem. Kemudian, operasi baris elementer, seperti mengalikan baris dengan suatu konstanta, menukar baris, atau menambahkan baris, digunakan untuk menyederhanakan matriks menjadi bentuk yang lebih mudah dipecahkan. Akhirnya, matriks tersebut dipecahkan menggunakan metode invers, determinan, atau eliminasi Gauss-Jordan untuk mendapatkan solusi SPLTV.

4. Metode Cramer

Metode ini menggunakan determinan-determinan untuk mencari solusi SPLTV. Setiap variabel diperlakukan sebagai penentu tunggal dalam sistem persamaan. Dengan menggunakan matriks koefisien dan matriks hasil, determinan-determinan ini dihitung dan dibagi dengan determinan utama untuk mendapatkan nilai-nilai variabel.

Pemilihan metode penyelesaian SPLTV tergantung pada kompleksitas sistem dan preferensi pribadi. Dalam prakteknya, kombinasi dari beberapa metode di atas juga dapat digunakan untuk menemukan solusi SPLTV dengan efisien.

Contoh Soal SPLTV

Berikut adalah contoh soal SPLTV beserta jawabannya:

Soal:

Tentukan solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

2x + y – z = 5

x – 3y + 2z = -4

3x + 2y + 4z = 2

Jawaban:

Kita dapat menggunakan metode eliminasi untuk menyelesaikan SPLTV ini. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan kedua:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

2x – 6y + 4z = -8

Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (2x – 6y + 4z) = 15 – (-8)

4x + 9y – 7z = 23

Mengeliminasi variabel x dari persamaan pertama dan ketiga:

Kali persamaan pertama dengan 3 dan persamaan ketiga dengan 2.

6x + 3y – 3z = 15

6x + 4y + 8z = 4

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama yang sudah dikalikan.

(6x + 3y – 3z) – (6x + 4y + 8z) = 15 – 4

-y – 11z = 11

Mengeliminasi variabel y dari persamaan kedua dan ketiga:

Kali persamaan kedua dengan 2 dan persamaan ketiga dengan 3.

2x – 6y + 4z = -8

9x + 6y + 12z = 6

Kurangi persamaan ketiga dari persamaan kedua yang sudah dikalikan.

(9x + 6y + 12z) – (2x – 6y + 4z) = 6 – (-8)

7x + 12z = 14

Sekarang kita memiliki tiga persamaan:

4x + 9y – 7z = 23

-y – 11z = 11

7x + 12z = 14

Dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi lanjutan, kita dapat mencari nilai-nilai variabel. Setelah melakukan perhitungan, kita akan mendapatkan:

x = 3

y = -2

z = 1

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah x = 3, y = -2, dan z = 1.

Secara keseluruhan, sistem persamaan linear tiga variabel merupakan alat yang penting dalam matematika terapan. Dengan mempelajari dan memahami cara menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapat menganalisis dan memecahkan berbagai masalah dunia nyata yang melibatkan hubungan antarvariabel.

Dalam memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel, kita menggunakan metode dan teknik matematis yang membantu kita mencari solusi yang konsisten dan memuaskan. Melalui pemahaman yang baik tentang sistem persamaan linear tiga variabel, kita dapat mengidentifikasi pola, hubungan, dan ketergantungan antarvariabel yang kompleks.

Sistem persamaan ini dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu fisika, ekonomi, dan teknik, di mana kita perlu menganalisis hubungan kompleks antara tiga variabel yang saling mempengaruhi.

Dengan menggunakan konsep dan metode yang tepat, kita dapat menemukan solusi yang akurat dan relevan untuk sistem persamaan linear tiga variabel. Selain itu, pemahaman yang mendalam tentang sistem persamaan ini memberikan landasan yang kuat bagi pengembangan pengetahuan matematika kita dan membantu kita memecahkan masalah yang lebih kompleks di masa depan.

The post Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) appeared first on HaloEdukasi.com.

1. Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang, berapah harga yang harus ia bayar?

Misal x = harga telur, y = harga daging, dan z = harga udang.

Jumlah harga belanjaan ibu Yanti Rp 305.000 sehingga diperoleh persamaan:

5x + 2y + z = 305000

Jumlah harga belanjaan ibu Eka Rp 131.000 sehingga diperoleh persamaan:

3x + y = 131000

Jumlah harga belanjaan ibu Putu Rp 360.000 sehingga diperoleh persamaan:

3y + 2z = 360000

Jumlah harga yang harus dibayar Ibu Aniza dapat ditulis dengan persamaan = 3x + y + 2z

Diperoleh SPLTV yakni:

5x + 2y + z = 305000 . . . . pers (1)
3x + y = 131000 . . . . pers (2)
3y + 2z = 360000 . . . . pers (3)

Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.

• Langkah I

Ubah persamaan 2 yakni:

3x + y = 131000
y = 131000 – 3x . . . .  pers (4)

• Langkah II

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 1, maka:

5x + 2y + z = 305000
5x + 2(131000 – 3x) + z = 305000
5x + 262000 – 6x + z = 305000
– x + z = 43000
z = 43000 + x . . . . persamaan 5

• Langkah III

Substitusi persamaan 5 ke persamaan 3, maka:

3y + 2z = 360000
3y + 2(43000 + x) = 360000
3y + 86000 + 2x = 360000
2x + 3y = 274000 . . . . pers (6)

• Langkah IV

Substitusi persamaan 4 ke persamaan 6, maka:

2x + 3y = 274000 . . . . pers (6)
2x + 3(131000 – 3x) = 274000
2x + 393000 – 9x = 274000
– 7x = – 119000
x = – 119000/–7
x = 17000

• Langkah V

Substitusi nilai x ke persamaan 4 dan ke persamaan 5, maka:

y = 131000 – 3x
y = 131000 – 3(17000)
y = 80000
z = 43000 + x
z = 43000 + 17000
z = 60000

• Langkah VI

Jumlah harga yang harus dibayar ibu Aniza yakni:

Ibu Aniza = 3x + y + 2z
Ibu Aniza = 3(17000) + 80000 + 2(60000)
Ibu Aniza = 51000 + 80000 + 120000
Ibu Aniza = 251000

Jadi, harga yang harus Ibu Aniza bayar adalah sebesar Rp 251.000

2. Perhatikan persamaan berikut:

x+y+z=12
x−y−z=−52
x−2y−z=7

Nilai x adalah . . . .

Eliminasi yy dan zz pada persamaan (1)(1) dan (2)(2).

x+y+z=12
2x−y−z=−5 -
3x = -4
x = -4/3

Jadi, nilai x adalah ^-4/₃

3. Menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.

x + y – z = –3 
x + 2y + z = 7 
2x + y + z = 4

nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

x + y – z = –3 
x = –3 – y + z 

Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua

x + 2y + z = 7 
(–3 – y + z) + 2y + z = 7 
–3 + y + 2z = 7 
y + 2z = 7 + 3 
y + 2z = 10  Pers. (3) 

Subtitusikan x ke dalam persamaan ketiga

2x + y + z = 4 
2(–3 – y + z) + y + z = 4 
–6 – 2y + 2z + y + z = 4 
–y + 3z = 4 + 6 
–y + 3z = 10    Pers. (4) 

Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:

y + 2z = 10 
–y + 3z = 10 

Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi.

Subtitusikan y ke dalam persamaan kedua

–y + 3z = 10 ⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10 
–10 + 2z + 3z = 10 
–10 + 5z = 10 
5z = 10 + 10 
5z = 20 
z = 4 

Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh

y + 2z = 10 
y + 2(4) = 10 
y + 8 = 10 
y = 10 – 8  
y = 2 

Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV,

misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh

x + 2y + z = 7 
x + 2(2) + 4 = 7 
x + 4 + 4 = 7 
x + 8 = 7 
x = 7 – 8 
x = –1 

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}.

4. Tentukan penyelesaian SPLTV berikut ini:

2x + 5y – 3z = 3
6x + 8y -5z = 7
-3x + 3y + 4y = 15

Pembahasan:

2x + 5y – 3z = 3 … (1)
6x + 8y -5z = 7 … (2)
-3x + 3y + 4z = 15 … (3)

• Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):

2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15 
6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21  –
-8x + y = -6 … (4)

• Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):

2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12 
-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45  +
-x + 29y = 57 … (5)

• Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):

-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174 
-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57  –
-231x = -231
x = 1

• Substitusikan x ke (4):

-8x + y = -6
-8(1) + y = -6
-8 + y = -6
y = 8 – 6
y = 2

• Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1)

2x + 5y – 3z = 3
2(1) + 5(2) – 3z = 3
2 + 10 – 3z = 3
12 – 3z = 3
– 3z = 3 -12 = -9
z = -9/-3
z = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}

5. 3 bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut:

Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000

Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000

Via membelli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000

Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga?

Pembahasan:

Misal:

a = Harga 1 buah Apel
j = Harga 1 buah Jambu
m = Harga 1 buah Mangga

Maka, model matematikanya adalah

2a + j + m = 47.000 … (1)
a + 2j + m = 43.000 … (2)
3a + 2j + m = 71.000 … (3)

• Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3):

a + 2j + m = 43.000
3a + 2j + m = 71.000 –
-2a = -28.000
a = 14.000

• Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a:

2a + j + m = 47.000
a + 2j + m = 43.000 –
a – j = 4.000
j = a – 4.000
j = 14.000 – 4.000
j = 10.000

• Substitusikan nilai a dan j ke (1):

2a + j + m = 47.000
2(14.000) + 10.000 + m = 47.000
28.000 + 10.000 + m = 47.000
38.000 + m = 47.000
m = 47.000 – 38.000
m = 9.000

Jadi, harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000.

The post 5 Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Pembahasannya appeared first on HaloEdukasi.com.