Rotasi dalam matematika mengacu pada perubahan posisi atau orientasi suatu objek dalam ruang melalui perputaran terhadap titik tertentu. Rotasi sering digunakan untuk menggambarkan perubahan sudut atau orientasi geometris dari objek dalam sistem koordinat.

Dalam rotasi, objek dianggap tetap berbentuk dan ukurannya tidak berubah, hanya posisinya yang berubah. Pusat rotasi adalah titik tetap di sekitar mana objek berputar. Sudut rotasi digunakan untuk mengukur sejauh mana objek berputar dalam derajat atau radian.

Rotasi dalam matematika dapat dijelaskan dengan menggunakan konsep matriks rotasi, trigonometri, atau koordinat kartesian. Dalam koordinat kartesian, rotasi sering diwakili oleh transformasi linear menggunakan matriks rotasi. Setiap sudut rotasi menghasilkan matriks rotasi yang spesifik untuk memutar objek dalam ruang.

Rotasi dalam matematika memiliki berbagai aplikasi, termasuk dalam geometri, grafika komputer, robotika, fisika, dan banyak lagi. Hal ini memungkinkan kita untuk memodelkan dan memahami pergerakan, orientasi, dan perubahan posisi objek dalam ruang tiga dimensi.

Jenis Rotasi Matematika

Dalam matematika, terdapat beberapa jenis rotasi yang umum digunakan. Berikut adalah beberapa jenis rotasi matematika yang penting:

1. Rotasi 2D

Rotasi 2D terjadi pada bidang datar atau dalam sistem koordinat dua dimensi. Rotasi ini mengubah posisi atau orientasi objek sejauh sudut tertentu di sekitar titik pusat rotasi. Sudut rotasi dalam rotasi 2D diukur dalam derajat atau radian.

2. Rotasi 3D

Rotasi 3D terjadi dalam ruang tiga dimensi atau dalam sistem koordinat tiga dimensi. Rotasi ini mengubah posisi atau orientasi objek sejauh sudut tertentu di sekitar sumbu rotasi. Sudut rotasi dalam rotasi 3D diukur dalam derajat atau radian. Rotasi 3D dapat dilakukan sepanjang sumbu x, y, atau z, serta kombinasi dari ketiganya.

3. Rotasi Putar Balik (Reflection)

Rotasi putar balik adalah jenis rotasi yang menghasilkan pemetaan objek menjadi bayangan cerminannya di sepanjang bidang tertentu. Dalam rotasi putar balik, objek diubah posisi atau orientasinya terkait dengan bidang refleksi. Bidang refleksi dapat berupa bidang datar atau bidang datar yang melalui titik tertentu.

4. Rotasi Euclides

Rotasi Euclides adalah rotasi dalam ruang Euclides yang mempertahankan jarak antara titik-titik. Rotasi Euclides digunakan dalam geometri Euclides untuk memutar objek dalam ruang tiga dimensi tanpa mengubah bentuk atau ukurannya.

5. Rotasi Quaternions

Rotasi quaternions adalah representasi matematika rotasi menggunakan bilangan kompleks kuaternion. Quaternions menyediakan cara yang efisien untuk merepresentasikan rotasi dalam ruang tiga dimensi. Rotasi quaternions sering digunakan dalam grafika komputer dan simulasi fisika.

Faktor yang Mempengaruhi Rotasi Matematika

Ada beberapa faktor yang dapat mempengaruhi rotasi matematika. Berikut terdapat beberapa faktor yang signifikan dalam mempengaruhi rotasi, diantaranya:

1. Sudut rotasi adalah faktor utama yang mempengaruhi rotasi matematika. Besar sudut rotasi akan menentukan sejauh mana objek atau sistem berputar. Sudut rotasi diukur dalam derajat atau radian.
2. Sumurotasi adalah sumbu atau sumbu rotasi sekitar mana objek berputar. Pemilihan sumbu rotasi akan mempengaruhi arah dan orientasi perputaran objek. Sumbu rotasi dapat berupa sumbu x, y, atau z dalam koordinat tiga dimensi.
3. Pusat rotasi adalah titik tetap di sekitar mana objek berputar. Pilihan pusat rotasi akan mempengaruhi posisi dan titik referensi rotasi objek.
4. Koordinat awal objek sebelum rotasi juga mempengaruhi hasil rotasi. Rotasi dihitung relatif terhadap koordinat awal objek, sehingga perubahan koordinat awal akan mempengaruhi hasil rotasi.
5. Ada faktor eksternal lain yang dapat mempengaruhi rotasi matematika, seperti gaya eksternal, momen inersia, torsi, atau batasan fisik yang mempengaruhi pergerakan objek. Faktor-faktor ini dapat mempengaruhi kecepatan, percepatan, atau stabilitas rotasi objek.

Rumus Rotasi Matematika

Terdapat tiga macam rumus rotasi matematika yang perlu diketahui berikut diantaranya:

1. Rotasi 90 Terhadap Titik Pusat (A,B)

yˡ – b = x – a

yˡ = x – a + b

a – xˡ = y – b

xˡ = -y + a + b

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (-y + a+ b, x – a + b)

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (-y + (a + b), x – (a + b))

2. Rotasi 180 Terhadap Titik Pusat (A,B)

a – xˡ = x – a

xˡ = -x + a + a

xˡ = -x + 2a

b – yˡ = y – b

yˡ = -y + b + b

yˡ = -y + 2b

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (-x + 2a, -y + 2b)

3. Rotasi 270 Terhadap Titik Pusat (A,B)

b – yˡ = x – a

yˡ = -x + a + b

xˡ – a = y – b

xˡ = y + a – b

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (y + a – b, -x + a + b)

Contoh Soal Rotasi Matematika

Contoh Soal

Perhatikan gambar di atas, apabila titik S dirotasi sejauh 90^o dan searah dengan putaran jarum jam dengan titik pusat (0, 0). Tentukan koordinat akhir titik S!

Jawaban

Berdasarkan gambar tersebut, titik S terletak di koordinat (-3, 4). Oleh karena arah putarannya searah dengan putaran jarum jam, maka sudutnya bertanda negatif. Dengan demikian, koordinat akhir titik S dapat dinyatakan sebagai:

Dengan begitu, maka hasilnya ditemukan koordinat S’ (4,3)

Apabila digambarkan akan menjadi seperti berikut ini,

The post Rotasi Matematika: Pengertian, Jenis, Faktor, Rumus dan Contoh appeared first on HaloEdukasi.com.

Untuk memperjelas mengenai apa itu dilatasi, maka pada pembahasan kali ini, akan diulas mengenai pengertian, sifat, rumus dan juga contoh dilatasi. 

Pengertian Dilatasi

Dilatasi merupakan salah satu bentuk transformasi. Pada dilatasi transformasi yang terjadi bisa mengubah ukuran, baik itu memperbesar maupun sebaliknya yakni memperkecil, akan tetapi dilatasi tidak mengubah bentuk bangun geometri yang bersangkutan.

Dilatasi sendiri adakalanya disebut juga dengan pelebaran. Pada perhitungannya, dilatasi bisa ditentukan oleh faktor skala (k)  maupun oleh titik pusat O (0.0). Adapun untuk menghitung atau menentukan dilatasi sebuah titik atau bangun geometri maka digunakan rumus dilatasi yang akan dijelaskan pada pembahasan selanjutnya.

Jadi, dilatasi bisa diartikan sebagai suatu trasnformasi yang memindahkan titik-titik pada bangun geometri yang perpindahannya tergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi, yang berakibat bayangan dari bangun geometri yang didilatasi akan berubah ukurannya, baik membesar ataupun mengecil.

Sifat Dilatasi

Dilatasi memiliki sifat-sifat tertentu terkait dengan besar faktor skalanya. Berikut adalah beberapa sifat dari transformassi dilatasi:

• Apabila faktor dilatasi lebih dari 1 ( k > 1), maka bayangan akan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun asal.
• Apabila faktor dilatasi berada diantara 0 hingga 1 (0 < k < 1), maka bangun bayangan akan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun asal.
• Apabila faktor dilatasi terletak diantara -1 hingga 0 (-1 < k < 0), maka bangun bayangan akan diperkecil dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun asal.
• Apabila faktor dilatasi kurang dari -1 (k < -1), maka bangun bayangan diperbesar dan terletak berlainan pihak terhadap pusat dilatasi dan bangun awal.

Contoh Dilatasi dalam Kehidupan Sehari Hari

Diantara contoh penerapan dilatasi dalam kehidupan sehari-hari adalah:

• Pada cara kerja mikroskop untuk memperbesar objek yang sangat kecil atau mikroskopis dengan faktor dilatasi atau pembesaran hingga ribuan kali.
• Pada pembuatan miniatur atau maket yang memperkecil objek asli dengan faktor skala tertentu.
• Pada pembuatan peta atau denah dengan skala tertentu.

Rumus Dilatasi

Sebagaimana telah disinggung sebelumnya bahwa perhitungan dilatasi ditentukan oleh faktor skala dan juga titik pusatnya. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan dengan [P, k].

Dilatasi dengan Titik Pusat (0,0)

Dilatasi dengan titik pusat (0,0) dengan faktor skala k dinotasikan dengan [ O, k]

Untuk menghitung nilai dilatasi [O, k] dari titik asal (x,y), secara umum bisa digunakan rumus:

 x’ = kx  dan  y’= ky

Jadi, untuk dilatasi dengan titik pusat (0,0) cara menentukan titik bayangannya cukup mudah, yaitu hanya dengan mengalikan nilai x dan y dengan faktor skala dilatasinya.

Dilatasi terhadap Titik Pusat P (a, b)

Dilatasi dengan titik pusat (a,b) dengan faktor skala k dinotasikan dengan [ (a,b), k]

Untuk menghitung nilai dilatasi [(a,b), k] dari titik asal (x,y), secara umum bisa digunakan rumus:

x’ = a + k(x – a) dan y’ = b + k(y – b)

Contoh Soal Dilatasi

1. Tentukan bayangan titik P (4,-12) yang didilatasi terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor skala ½

Penyelesaian:

Untuk dilatasi dengan titik pusat (0,0), maka kita gunakan rumus x’ = kx  dan  y’= ky

Jadi untuk titik (4, -12) bayangannya adalah

x’ = kx  = ½ (4) = 2
y’= ky = ½ (-12) = -6

Maka P’ (2,-6)

2. Diketahui sebuang bangun segitiga dengan titik sudut pada koordinat sebagai berikut: A(2,3),  B(7,1) dan C(-2,-5). Bangun tersebut kemudian di-dilatasi dengan faktor skala 3 terhadap pusat M(1,3). Maka tentukan koordinat bayangannya!

Penyelesaian:

Untuk dilatasi dengan pusat M (1,3) dan k=3, maka kita gunakan rumus x’ = a + k(x – a) dan y’ = b + k(y – b)

A (2,3) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(2-1) + 1 = 4
y’ = 3(3-3)+3 =  3

jadi A’ (4,3)

B (7,1) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(7-1) + 1 = 19
y’ = 3(1-3) + 3 =  -3

jadi B’ (19, -3)

C (-2,-5) maka koordinat bayangannya adalah:

x’ = 3(-2-1) + 1 = -8
y’ = 3(-5-3) + 3 =  -21

jadi C’ (-8, -21)

3. Tentukan bayangan kurva y = x² – 6x + 5 jika di dilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat (0,0).

Pembahasan:

x’ = 3x → x = 1/3 x’
y’ = 3y → y = 1/3 y’

Kemudian nilainya disubstitusikan ke persamaan y = x² – 6x + 5, maka hasilnya menjadi:
       
1/3 y’ = (1/3 x’)² – 6(1/3x’) + 5
1/3 y’ = (1/9 x’)² – 2x’ + 5               (Semua ruas kalikan dengan  3)
   y’ = (1/3x’)² – 6x’ + 15

Jadi persamaannya akan menjadi y = 1/3x² – 6x +15

4. Sebuah  titik P(- 6,4) didilatasi sehingga menghasilkan bayangan di titik  P'( 3 , -2) dan pusat dilatasi (0,0). Tentukan besarnya faktor skala dilatasinya!

Pembahasan:

Untuk menentukan besarkan faktor skala dilatasi dari soal diatas, maka kita bisa berpedoman pada rumus  x’ = kx  dan  y’= ky

 x’ = kx
3 = k (-6) maka k = 3:(-6) = - ½
y’= ky
-2 = k (4) maka k = (-2) : 4 = - ½

The post Dilatasi: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.