Trigonometri sendiri pada dasarnya merupakan konsep untuk mengukur tiga sudut. Hal ini sebagaimana asal katanya dari bahasa Yunani, yakni trigonon yang bermakna tiga sudut dan metro yang bermakna mengukur.

Berikut akan dibahas bagaimana penerapan konsep trigonometri untuk menghitung nilai atau panjang sisi pada sebuah segitiga siku-siku.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya adalah 90˚. Sisi miring dalam segitiga siku-siku disebut hipotenusa.

Dalam teorema pythagoras, kuadrat hipotenusa (sisi miring) adalah sama dengan jumlah kuadrat dua sisi siku-sikunya.

Adapun dalam konsep trigonometri, untuk mengetahui panjang sisi pada segitiga siku-siku, maka kita harus mengetahui besar salah sudut selain sudut siku-siku dan panjang salah satu sisinya.

• Sisi Miring merupakan sisi yang berada di depan sudut siku-siku.
• Sisi Depan merupakan sisi yang berada di depan sudut α.
• Sisi Samping merupakan sisi siku-siku lainnya.

Berikut adalah nilai perbandingan trigonometrinya :

Contoh Soal:

Diketahui panjang salah satu sisi siku-siku sebuah segitiga adalah 6 cm dan besar sudut pada segitiga tersebut adalah 30˚. Tentukanlah panjang sisi miring dan sisi siku-siku lainnya!

Jawab :

Maka panjang sisi miringnya adalah 12 cm dan panjang salah satu sisi siku-siku lainnya adalah 6 √3 cm.

Koordinat Kutub

Penerapan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku bisa juga digunakan untuk menentukan koordinat kutub pada bidang kartesius.

Koordinat kutub adalah suatu sustem koordinat dimana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dan sudut yang telah ditetapkan.

Menentukan Koordinat Kutub dengan Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perbandingan trigonometri pada bidang kartesius di atas adalah:

Jika diketahui koordinat kutub (r, α) maka persamaannya adalah:

Contoh Soal:

1. Diketahui koordinat kutub sebuah garis pada bidang kartesius adalah  A (8,60˚). Jika panjang garis dari titik asal adalah 8 cm, maka tentukanlah titik koordinat A!

Jawab:

x = r . cos α
x = 8 . cos 60˚
x = 8 . ½ = 4 cm
y = r . sin α
y = 8 . sin 60˚
y = 8 . ½√3 =  4√3 cm

2. diketahui sebuah titik terletak pada koordinat A (4,4). Tentukanlah panjang garis (r) yang dibentuk antara titik asal (0,0) dengan titik koordinat A dan sudut antara garis tersebut dengan  sumbu x! Berapa koordinat kutub dari titik A?

Jawab:

3. Dari gambar berikut, tentukan panjang garis yang menghubungkan titik awal dengan A serta sudut yang terbentuk.

Jawab :

The post Konsep Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku appeared first on HaloEdukasi.com.

Trigonometri merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut segitiga, biasanya digunakan dalam membuat desain bangunan, pembuatan jembatan, dan pada bidang astronomi.

Sedangkan limit trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut. Istilah-istilah yang ada dalam trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), secan (sec), cosecan (csc), dan cotangent (ctg).

ada saat menentukan nilai dari suatu limitnya, beberapa cara/metode yang sering dipakai adalah substitusi, pemfaktoran, turunan, dan kali sekawan.

Dalam trigonometri, terdapat beberapa rumus yang berbentuk seperti di bawah ini:

1. Rumus kebalikan

2. Rumus identitas

• sin²α + cos²α = 1
• 1 + cot²α = csc²α 
• 1 + tan²α = sec²α 

3. Rumus jumlah dan selisih trigonometri

• sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
• cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
• cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

4. Rumus perkalian

• 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
• 2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
• 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)
• – 2 sin α sin β = cos (α + β) – cos (α – β)

5. Sudut rangkap

• sin 2α = 2 sin α cos α
• cos 2α = 1 – 2 sin²α = cos²α – sin²α
• tan 2α =
• cot 2α = 

Turunan Trigonometri

Keenam jenis rumus di atas merupakan hal yang mendasar dari materi trigonometri, karena hampir setiap soal yang menyangkut geometri pasti menggunakan rumus-rumus tersebut.

Limit Fungsi Trigonometri

Sama halnya dengan limit trigonometri, limit fungsi trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut pada fungsi trigonometri.

Dalam penghitungannya, terdapat 2 (dua) teorema yang menjadi dasar dari limit fungsi trigonometri seperti di bawah ini:

Teorema 1 (hanya berlaku pada saat x → 0)

Teorema 2 (hanya berlaku pada saat x → c, Ɐc ∈ R)

Menggunakan 2 (dua) teorema di atas, kita dapat mencari nilai dari sebuah limit trigonometri dengan lebih mudah.

Dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri pula, biasanya menggunakan sudut-sudut istimewa yang nilainya tidak rumit.

Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri yaitu 0^o, 30^o, 45^o, 60^o, 90^o. Agar lebih mudah dalam memahami sudut istimewa, perhatikan tabel sudut istimewa dari 4 kuadran di bawah ini:

Kuadran 1

Kuadran 2

Kuadran 3

Kuadran 4

Contoh Soal Limit Trigonometri

4. Diberikan sebuah bentuk limit trigonometri sebagai berikut

Tentukan hasil operasi limit di atas!Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kamu harus melihat kembali identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri.

Dari indentitas trigonometri dan teorema limit trigonometri di atas, kita dapat menyelesaikan soal limit trigonometrinya.

Jadi, hasilnya adalah

5. Terdapat sebuah fungsi campuran seperti di bawah ini

Berapakah nilai a jika limit di x = 0?Pembahasan

Pertama, untuk mengerjakan soal ini, kita harus memberlakukan batas limit kanan dan kiri.

• Uji nilai pada ruas kiri

• Uji nilai pada ruas kanan

a = 1

Untuk memenuhi persamaan di atas, maka nilai a=1.

The post Limit Trigonometri: Pengertian, Rumus dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.

Identitas trigonometri merupakan suatu relasi atau hubungan antara suatu persamaan trigonometri dengan persamaan trigonometri lainnya.

Identitas trigonometri juga mencakup fungsi kebalikan, seperti:

• Cosecan = 1/sin
• Secan = 1/cos
• Cotangen = 1/tan

Grafik Fungsi Trigonometri

1. Grafik Sinus

2. Grafik Cosinus

3. Grafik Tangen

Sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa merupakan beberapa sudut yang dengan mudah kita tentukan nilai trigonometrinya.

Beberapa sudut istimewa tersebut yaitu 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Tabel Trigonometri

Perhatikan grafik fungsi sinus berikut.

Pada grafik fungsi sinus tersebut, beberapa nilai sinusnya yaitu:

• sin 0° = 0
• sin 30° = ½
• sin 45° = ½ √2
• sin 60° = ½ √3
• sin 90° = 1
• sin 270° = -1

Perhatikan grafik fungsi cosinus berikut:

Beberapa nilai cosinus dari fungsi tersebut yaitu:

• cos 0° = 1
• cos 30° = ½ √3
• cos 45° = ½ √2
• cos 60° = ½
• cos 90° = 0

Perhatikan grafik fungsi tangen berikut:

Beberapa nilai tangen dari fungsi tersebut yaitu:

• tan 0° = 0
• tan 30° = 1/√3
• tan 45° = 1
• tan 60° = √3
• tan 90° = (tidak terdefinisi)

Tabel Sin Cos Tan

Berikut merupakan tabel sinus, cosinus, dan tangen.

Keterangan:

α  : besar sudut

Selanjutnya akan dijelaskan mengenai beberapa persamaan trigonometri.

Persamaan Trigonometri

Beberapa persamaan yang perlu kalian ketahui untuk mempermudah penyelesaian fungsi trigonometri yang lebih kompleks yaitu

• sin (90° – x) = cos x
• sin (90° + x) = cos x
• sin (180° – x) = sin x
• sin (180° + x) = – sin x
• cos (90° – x) = sin x
• cos (90° + x) = – sin x
• cos (180° – x) = – cos x
• cos (180° + x) = – cos x

Beberapa persamaan trigonometri berikut merupakan bentuk identitas trigonometri.

Identitas Trigonometri Terhadap Sinus

• sin 2x = 2 sin x cos x
• sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b
• sin² x = 1 – cos²x

Identitas Trigonometri Terhadap Cosinus

• cos 2x = cos²x – sin²x
• cos 2x = 2 cos²x – 1
• cos 2x = 1 – 2 sin²x
• cos²x = 1- sin²x
• cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b
• cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b

Identitas Trigonometri Lainnya

• sec²x – tan²x = 1
• sin²x + cos²x = 1

Keterangan:

x, a, b : besar sudut

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α.

Pembahasan:

sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α
sec² α (sec² α – 1) = tan² α (tan² α + 1)
sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
Jadi, sec⁴ α – sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
Terbukti.

2. Tentukan nilai dari (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α.

Pembahasan:

(sin α – cos α)² = sin² α – 2 sin α. cos α +  cos² α
(sin α – cos α)² = sin² α +  cos² α – 2 sin α. cos α
(sin α – cos α)² = 1 – 2 sin α. cos α

Selanjutnya :

(sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1 – 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
(sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1
Jadi, (sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = 1.

The post Trigonometri: Grafik – Identitas dan Contoh Soal appeared first on HaloEdukasi.com.