Vektor Matematika: Pengertian – Operasi Perkalian dan Contoh Soal

Materi ini membahas vektor dalam matematika disertai rumus dan contoh soal vektor untuk mempermudah pemahaman.

Apa itu Vektor?

Vektor merupakan suatu ruas garis yang memiliki besaran (ukuran panjang/nilai) dan arah. Berikut merupakan contoh vektor.:

Vektor biasanya diberi nama menggunakan huruf kecil  (misal a) atau titik-titik yang menghubungkannya (misal PQ).

Pada gambar tersebut terdapat transformasi titik A dengan vektor u hasilnya adalah titik B, dengan pengertian yang sama vektor u merupakan garis berarah dari titik A ke titik B.

Vektor pada gambar tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut:

Vektor AB tersebut memiiki pangkal vektor yang terletak pada titik A dan ujung vektor yang terletak pada titik B. Berkaitan dengan kesamaan dua vektor, dua vektor dapat dikatakan sebagai vektor yang sama jika nilai (panjang vektor) dan arahnya sama.

Misal terdapat suatu vektor

panjang vektor u dapat dihitung dengan

Keterangan:

Setelah menmahami mengenai vektor, berikut beberapa contoh penerapan vektor dalam kehidupan sehari-hari.

Operasi Perkalian Vektor

Terdapat beberapa jenis perkalian dalam vektor. Terdapat perkalian skalar dengan vektor dan perkalian vektor dengan vektor. Perkalian skalar dengan vektor dapat kalian lihat pada bagian berikut ini:

Perkalian Skalar dengan Vektor

Apa itu skalar?

Skalar merupakan suatu nilai yang tidak memiliki arah.

Misalkan terdapat suatu skalar k dan vektor u. Perkalian skalar dan vektor tersebut dapat dituliskan dengan ku.

Hasil perkalian skalar dengan vektor akan menghasilkan vektor.

Lalu apa yang membedakannya dengan vektor awal u?

Yang membedakannya yaitu hasil perkaliannya menghasilkan vektor dengan ukuran vektor yang diperpanjang sebanyak k kali dari panjang semua.

Berikut  merupakan beberapa macam hasil perkalian skalar k dan vektor u.

Perkalian ku

• Jika k > 0, maka vektor hasil searah dengan vektor u.
• Jika k < 0, maka vektor hasil berlawanan arah dengan vektor u.
• Jika k = 1, maka vektor hasil sama dengan vektor u.
• Jika k = 0, maka menghasilkan vektor nol.

Setelah membahas mengenai perkalian skalar dengan vektor, selanjutkan akan dijelaskan mengenai perkalian vektor dengan vektor.

Perkalian Vektor dengan Vektor

Perkalian vektor dengan vektor terdiri dari perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product).

Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik didefinisikan sebagai skalar sebagai hasil dari perkalian dua vektor dengan cosinus sudut apit kedua vektor tersebut. Misalkan terdapat 2 vektor u dan v.

Perkalian titik juga dapat diartikan sebagai perkalian vektor u dengan komponen vektor v yang searah dengan vektor u.

Dari definisi tersebut dapat dituliskan rumus perkalian titik (dot product) yaitu sebagai berikut:

Atau dengan menggunakan konsep perkalian tiap elemennya. Misalkan terdapat dua vektor  dan  perkalian titik dapat dihitung dengan:

Keterangan:

Selanjutnya akan dibahas mengenai perkalian silang (cross product).

Perkalian Silang (Cross Product)

Untuk menentukan hasil perkalian silang dua vektor dapat dengan menerapkan rumus berikut. Misalkan, terdapat dua vektor dalam ruang tiga dimensi yaitu u = (u₁, u₂, u₃) dan v = (v₁, v₂, v₃). Hasil perkalian silang (cross product) dua vektor tersebut dituliskan sebagai:

Atau dapat juga dengan menggunakan metode determinan yaitu sebagai berikut:

Keterangan:

• u : vektor u
• v : vektor v
• u₁, u₂, u₃ : elemen-elemen vektor u
• v₁, v₂, v₃ : elemen-elemen vektor v

Selanjutnya kita akan membahas mengenai proyeksi vektor. Simak penjelasan berikut.

Proyeksi Vektor

Perhatikan gambar proyeksi vektor berikut.

Terdapat dua vektor yaitu vektor u dan vektor v. Gambar di atas merupakan gambar proveksi vektor v pada vektor u.  Proyeksi vektor v  pada vektor u  adalah

Contoh Soal Vektor dan Pembahasannya

Berikut ini soal dan pembahasan vektor dalam bidang matematika.

1. Diberikan 3 buah vektor: 

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal tersebut, kita dapat mengkali nilai skalar dengan vektornya. Namun, kita harus menulis bentuk vektor sederhana dari setiap vektor.

Bentuk sederhana dan perkaliannya dapat di lihat pada penyelesaian di bawah ini.

2. Diketahui vektor-vektor berikut:

Pembahasan:

Untuk mencari nilai 3a + 4b – 2c, kita perlu mencari nilai m. Pada soal, dijelaskan bahwa a ⊥ b yang berarti kedua vektor tersebut tegak lurus.

Kita dapat menuliskan bentuk vektor tidak lurus seperti di bawah ini.