Bilangan Irasional: Pengertian dan Contoh Soal

Setelah membahas mengenai bilangan rasional, pada materi ini akan dibahas khusus mengenai bilangan irasional dan contohnya.

Apa itu Bilangan Irasional?

Dalam bilangan real, bilangan irasional merupakan suatu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan ^a/_b.

Berbeda dari bilangan rasional, bilangan irasional merupakan bilangan dengan bentuk desimal yang tidak berhingga.

Beberapa contoh bilangan dalam bentuk akar dan bentuk bilangan lainnya (misalnya konstanta) merupakan contoh dari bilangan irasional.

Berikut akan dijelaskan mengenai contoh bilangan irasional.

Contoh Bilangan Irasional

Beberapa contoh bilangan irasional yaitu bilangan 2^1/2, π, dan e.

Mengapa bilangan 2^1/2 merupakan bilangan irasional?

Jika dihitung dengan bantuan alat hitung, nilai dari 2^1/2 yaitu 1,414213562373095048801688724… yang mana bilangan desimal tersebut tidak berulang dan tak hingga banyaknya angka di belakang desimal (koma).

Namun, tidak semua bilangan dalam bentuk akar merupakan bilangan irasional. Misalnya 4^1/2 dan 9^1/2. Nilai dari 4^1/2 dan 9^1/2 yaitu 2 dan 3 yang merupakan bilangan bulat.

Bilangan π. Bilangan π = 3,14 atau π = ²²/₇ penggunaannya belum tepat karena nilai π yang sebenarnya yaitu 3,141592653589793… .

Penggunaan nilai π sama dengan 3,14 atau ²²/₇ merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat dari bilangan irasional.

Bilangan eksponensial (e) merupakan konstanta dengan nilai 2,7182818…

Contoh Soal Bilangan Irasional

1. Apakah 0,12111111… adalah bilangan rasional?

Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111…
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111… _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111… ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111… – 12,1111…
900 A = 109
A = ¹⁰⁹/₉₀₀
Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111… merupakan bilangan rasional.

2. Tentukan bilangan pecahan  paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123….

Pembahasan:

Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah ¹²³/₉₉₉.
Setelah disederhanakan maka menjadi ⁴¹/₃₃₃.

3. Jika ^a/_b adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517….

Tentukan a+b positif terkecil!
Pembahasan:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517….

Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah: ¹⁴²⁸⁵⁷/₉₉₉₉₉₉ x ¹/₁₀.

Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah ¹/₇₀. Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71.