Persamaan Lingkaran: Pengertian – Rumus dan Contoh Soal

Di tingkat pendidikan SD, pembelajaran mengenai lingkaran akan difokuskan mengenai keliling lingkaran dan luas lingkaran. Kemudian menginjak SMP, akan lebih diperluas ke juring, tembereng, hingga garis singgung. Nah, di tingkat SMA akan dikenalkan mengenai persamaan lingkaran.

Lalu apa sih sebenarnya persamaan lingkaran itu? Dan bagaimana persamaan lingkaran bisa dirumuskan?

Apa itu Persamaan Lingkaran?

Sebelum membahas mengenai persamaan lingkaran, mari kita ingat kembali apa itu definisi dari lingkaran.

Lingkaran dapat diartikan sebagai himpunan atau sekumpulan titik-titik yang mempunyai jarak sama terhadap satu titik yang kemudian disebut dengan titik pusat. Himpunan titik-titik inilah yang kemudian dicari koordinatnya untuk dibentuk suatu persamaan.

ingkaran dapat diwakili dengan persamaan lingkaran. Jadi, ketika ingin membahas suatu lingkaran dengan jari-jari dan koordinat tertentu maka cukup dengan menyebutkan persamaan lingkarannya.

Rumus Persamaan Lingkaran

Ada beragam rumus untuk suatu persamaan lingkaran. Hal ini didasarkan pada pusat lingkaran dan juga jari-jari lingkaran.

Jika dua lingkaran mempunyai panjang jari-jari yang sama akan tetapi mempunyai titik pusat yang berbeda, maka kedua lingkaran itu bukanlah lingkaran yang sama. Begitu juga sebaliknya, walaupun dua lingkaran mempunyai titik pusat yang sama akan menjadi lingkaran yang berbeda jika jari-jarinya berbeda.

• Rumus Umum Persamaan Lingkaran

Terdapat bentuk umum yang mewakili persamaan lingkaran, yaitu:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Titik pusat lingkaran dapat ditentukan dari persamaan lingkaran di atas, yaitu:

Jari-jari lingkaran juga dapat ditentukan dari rumus umum persamaan lingkaran di atas, yaitu:

• Rumus Persamaan Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran juga dapat dirumuskan jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran. Misalkan diketahui titik pusat lingkaran di P(a,b) dan jari-jari r, maka persamaan lingkarannya yaitu:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Jika kita mempunyai persamaan lingkaran seperti bentuk persamaan di atas, maka kita dapat memeriksa kedudukan suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

Apakah titik itu terletak pada lingkaran, di luar lingkaran, atau justru terletak di dalam lingkaran.

Persamaan lingkaran akan berbeda pada setiap kedudukan titik yang berbeda. Berikut adalah persamaan lingkaran berdasarkan kedudukan titiknya, dimisalkan untuk titik T(x₁, y₁).

• Jika titik berada tepat pada lingkaran, maka akan memenuhi persamaan (x₁ – a)² + (y₁ – b)² = r².
• Jika titik berada di dalam lingkaran, maka akan memenuhi persamaan (x₁ – a)² + (y₁ – b)² < r².

• Jika titik berada di luar lingkaran, maka akan memenuhi persamaan (x₁ – a)² + (y₁ – b)² > r².

Supaya lebih paham mengenai persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r, perhatikan contoh soal berikut:

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

Tentukan persamaan lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan berpusat di (3, 4)!

Jawab:

Untuk mencari persamaan lingkaran seperti yang diminta pada soal, kita bisa menggunakan persamaan lingkaran pada poin 2.

Perhatikan bahwa jari-jari = r = 14 cm, titik pusat (3,4) dengan a = 3 dan b = 4, maka diperoleh

       (x - a)2 + (y - b)2 = r2
<=> (x - 3)2 + (y - 4)2 = 142
<=> (x2 - 6x + 9) + (y2 - 8y + 16) = 196
<=> x2 + y2 - 6x - 8y + 25 = 196
<=> x2 + y2 - 6x - 8y - 171 = 0

Jadi, persamaan lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan berpusat di (3, 4) adalah x² + y² – 6x – 8y – 171 = 0

• Rumus Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran juga bisa dirumuskan jika diketahui titik pusat lingkaran tersebut terletak di titik pusat O(0,0) dengan jari-jari r. Cara merumuskannya adalah dengan melakukan substitusi titik O(0,0) ke dalam persamaan lingkaran pada poin 2 sehingga menghasilkan persamaan sebagai berikut:

x2 + y2 = r2

Pada persamaan lingkaran ini dapat pula digunakan untuk menentukan kedudukan suatu titik. Berikut adalah persamaan lingkaran berdasarkan kedudukan titiknya, dimisalkan untuk titik T(x₁, y₁)

• Jika titik berada tepat pada lingkaran, maka akan memenuhi persamaan x₁² + y₁² = r²
• Jika titik berada di dalam lingkaran, maka akan memenuhi persamaan x₁² + y₁² < r²
• Jika titik berada di luar lingkaran, maka akan memenuhi persamaan x₁² + y₁² > r²

Perhatikan contoh soal berikut agar lebih paham mengenai persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r.