Salah satu materi matematika di tingkat pendidikan SMP yang berkaitan dengan lingkaran adalah garis singgung lingkaran. Pembahasan mengenai garis singgung lingkaran akan selalu berkaitan dengan persamaan lingkaran. Tapi sebenarnya apa sih garis singgung lingkaran itu?
Secara sederhana, garis singgung dapat diartikan sebagai suatu garis yang menyinggung. Ingat ya, menyinggung berbeda dengan memotong. Perhatikan ilustrasi berikut untuk lebih memahaminya.
Pada gambar di atas, terdapat tiga garis dan 1 lingkaran. Garis k dikatakan menyinggung lingkaran tepat di satu titik. Titik ini dinamakan titik persekutuan. Garis m memotong lingkaran di dua titik, sedangkan garis n berada di luar lingkaran. Jadi dapat dikatakan bahwa garis k merupakan sebuah garis singgung.
Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang menyinggung lingkaran tepat di satu titik persekutuan. Titik ini selanjutnya disebut juga dengan nama titik singgung.
Garis singgung pada suatu lingkaran dapat berjumlah lebih dari satu, tepatnya akan sebanyak titik yang berada pada lingkaran tersebut. Tidak hanya melalui satu lingkaran saja, akan tetapi garis singgung juga dapat melalui dua lingkaran.
Garis singgung lingkaran memiliki beberapa sifat atau ketentuan, antara lain:
1. Hanya dapat dibuat satu buah garis singgung lingkaran melalui satu buah titik yang terletak pada lingkaran.
Sesuai definisi, garis singgung hanya mempunyai satu titik persekutuan. Jadi, jika kita memilih satu titik pada lingkaran maka dari titik tersebut hanya dapat dibuat satu macam garis singgung. Dan dari setiap titik pada lingkaran dapat dibuat garis singgung yang berbeda.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Misal dipilih 4 titik berbeda pada lingkaran yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D. Maka dari keempat titik tersebut masing-masing dapat ditarik sebuah garis singgung lingkaran.
Dari titik A dapat dibuat garis singgung h. Dari titik B dan C masing-masing dapat dibuat garis singgung m dan g. Sedangkan dari titik D dapat dibuat garis singgung k.
2. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran
Sifat pertama dari garis singgung adalah kedudukannya tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. Perhatikan ilustrasi berikut.
Garis m melewati titik pusat lingkaran O dan tegak lurus dengan ruas garis PQ. Ruas garis PQ juga merupakan diameter lingkaran. Ruas garis PQ memotong lingkaran di titik P dan titik Q. Dari titik P dibuat garis dan dinamakan dengan garis k. Sedangkan dari titik Q dibuat garis dan dinamakan dengan garis n.
Garis k dan garis n sejajar dengan garis m. Jika garis m tegak lurus dengan ruas garis PQ, sedangkan garis k dan garis n sejajar dengan garis m, maka garis k dan garis n juga tegak lurus dengan ruas garis PQ. Garis k dan garis n merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat O.
Garis singgung k dan n tegak lurus dengan diameter lingkaran. Jadi dapat disimpulkan bahwa garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.
3. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran
Garis singgung juga bisa ditarik dari titik yang berada di luar lingkaran. Melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran maka dapat ditarik dua buah garis singgung.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan dipilih secara acak titik yang berada di luar lingkaran, dalam ilustrasi dipilih titik T. Dari titik T dapat ditarik garis yang menyinggung lingkaran dengan titik singgung di titik A dan titik C. Garis singgung yang melalui titik T dan titik singgung A dimisalkan dengan garis singgung h. Dan garis singgung yang melalui titik T dan titik singgung C dimisalkan dengan garis singgung g.
4. Panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran adalah sama
Sifat garis selanjutnya adalah mengenai panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran. Perhatikan kembali ilustrasi garis singgung pada poin 4. Panjang garis singgung yang melalui titik T dan titik singgung A adalah panjang ruas garis AT. Begitu juga dengan panjang garis singgung yang melalui titik T dan titik singgung C adalah panjang ruas garis CT.
Sekarang kita akan membuktikan apakah panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran adalah sama.
Berdasarkan sifat garis singgung pada poin 2, kedudukan garis singgung dan jari-jari lingkaran adalah saling tegak lurus. Pada gambar di atas, garis singgung g tegak lurus dengan jari-jari OC. Sedangkan garis singgung h tegak lurus dengan jari-jari OA.
Coba perhatikan bahwa ada dua segitiga siku-siku yang terbentuk dari singgung tersebut yaitu segitiga AOT (siku-siku di A) dan segitiga COT (siku-siku di C).
Kita akan menentukan panjang ruas garis CT dan panjang ruas garis AT yang masing-masing mewakili panjang garis singgung g dan h. Berdasarkan teorema Pythagoras diperoleh CT2 = OT2 – OC2 dan AT2 = OT2 – OA2.
Perhatikan bahwa OC = OA karena merupakan jari-jari lingkaran. Dengan demikian dapat ditulis juga CT2 = OT2 – OA2 = AT2. Jadi terbukti bahwa panjang garis singgung yang ditarik dari titik di luar lingkaran adalah sama.
5. Melalui dua buah lingkaran dapat dibuat berbagai kemungkinan garis singgung
Jika terdapat dua buah lingkaran yang berbeda, maka dapat dibentuk beberapa kemungkinan garis singgung. Dari dua buah lingkaran yang tidak bersinggungan maupun berpotongan dapat dibuat dua garis singgung. Perhatikan ilustrasi di bawah.
Ilustrasi di atas menggambarkan dua buah garis singgung yang melalui dua buah lingkaran. Garis singgung seperti ilustrasi di atas disebut dengan garis singgung persekutuan dalam. Sedangkan garis singgung persekutuan luar terlihat pada ilustrasi di bawah ini.
Pada dua buah lingkaran yang bersinggungan dapat juga dibentuk tiga garis singgung seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Dalam posisi berbeda dua buah lingkaran yang bersinggungan dapat dibentuk satu garis singgung seperti pada gambar di bawah ini.