Induksi Matematika: Pengertian, Rumus dan Contoh Soal

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah cara atau teknik pembuktian secara deduktif dalam matematika.

Pembuktian yang dimaksud adalah pembuktian pernyataan-pernyataan yang berkaitan dengan bilangan bulat positif (non negative).

Sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli.

Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil.

Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v₀ anggota V sedemikian sehingga v₀ ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:
(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan
(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.

Langkah-Langkah Induksi Matematika

Andaikan p(n) adalah sebuah pernyataan dengan variabel bebas n dan n adalah bilangan bulat positif, maka untuk membuktikan bahwa p(n) benar kita perlu melalui 3 langkah sebagai berikut:

• Tunjukkan bahwa p(1) benar
• Misalkanlah p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif  dengan n ≥1
• Tunjukkan bahwa p(n+1) benar

Agar lebih dapat memahami materi ini, perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tunjukkan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =  

Pembahasan:

• Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 =  = 1 (benar)

• Misal p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 2 + 3 + … + n =  benar

• Akan dibuktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

Bukti:

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) = + (n+1)

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =

1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) =  (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =  untuk n ≥ 1.

2. Tunjukkan bahwa jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama adalah n²

Pembahasan

Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n²

• Akan ditunjukkan bahwa p(1) benar

Jika n = 1, maka:

1 = n² = 1² = 1

• Misalkan p(n) benar untuk n ≥ 1, maka:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² benar

• Akan di buktikan bahwa p(n+1) benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)²

Bukti:

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + (2(n+1)–1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 2 – 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 1

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)

1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)² (terbukti)

Jadi, terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² untuk n bilangan bulat positif.