Daftar isi
Salah satu materi dalam matematika adalah peluang. Materi ini dipelajari di tingkat SMP dan dipelajari lebih lanjut di SMA. Peluang memuat submateri permutasi dan kombinatorika. Pembahasan kali ini akan difokuskan pada submateri permutasi siklis, sebagai salah satu jenis dari permutasi.
Sebelum masuk ke pembahasan permutasi siklis, kita harus tahu dulu apa itu permutasi.
Permutasi merupakan sebuah aturan penyusunan atau pencacahan tanpa memperhatikan bagaimana urutan objek tersebut. Hal ini berbeda dengan kombinasi yang harus memperhatikan urutan objek.
Permutasi siklis merupakan salah satu jenis permutasi yang berkaitan dengan elemen yang disusun secara melingkar.
Berikut adalah ilustrasi penentuan permutasi dari elemen yang disusun secara melingkar.
Misalkan diketahui ada lima elemen yaitu A, B, C, D, dan E disusun secara melingkar seperti pada gambar di bawah
Susunan untaian di atas dapat kita susun ulang menjadi urutan untaian seperti berikut
A B C D E B C D E A C D E A B D E A B C E A B C D
Ingat bahwa permutasi tidak memperhatikan urutan objek, maka setiap macam untaian tersebut di atas kita anggap identik untuk satu sama lainnya. Selanjutnya, permutasi siklis akan dihitung dengan cara menganggap satu elemen sebagai awal dari suatu untaian.
Misalkan pada untaian A B C D E maka [A] adalah awal untaian dan [B C D E] merupakan bagian yang dipermutasikan. Bagian yang dipermutasikan merupakan bagian yang dapat berubah-ubah. Jika panjang untaian kita misalkan dengan n maka bagian yang dipermutasikan adalah (n-1). Jadi untuk mengetahui berapa banyak macamnya elemen tersebut bisa dipermutasikan atau diubah adalah dengan rumus berikut.
Permutasi siklis dari n objek = (n-1)!
Ada banyak contoh soal mengenai permutasi siklis. Pada umumnya, siswa akan merasa kebingungan jika soal sudah diubah sedikit. Berikut beberapa contoh soal disertai pembahasan yang berkaitan dengan permutasi siklis dan sering keluar dalam ujian.
Soal 1
Sebuah rapat diselenggarakan di sebuah meja bundar dan dihadiri oleh 5 orang yaitu direktur, sekretasis, manajer personalia, manajer keuangan, dan manajer pemasaran. Tentukan berapa banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika (a) mereka semua bisa bebas berpindah-pindah tempat, dan (b) direktur dan sekretaris selalu berdekatan ?
Pembahasan:
Dari soal diketahui banyak elemen yang terlibat adalah 5 orang (direktur, sekretasis, manajer personalia, manajer keuangan, manajer pemasaran).
(a) banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika semua orang bebas berpindah-pindah tempat adalah (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara
(b) banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika direktur dan sekretaris selalu berdekatan:
Untuk kondisi ini mari kita ilustrasikan sebagai berikut
Terdapat syarat bahwa direktur dan sekretaris harus selalu berdampingan, maka direktur dan sekretaris dapat kita anggap sebagai satu elemen. Maka ada 4 objek yang akan kita susun secara siklis. Permutasi siklis dari 4 objek adalah (4-1)! = 3! = 3×2 = 6 cara.
Ingat bahwa untuk direktur dan sekretaris yang duduk berdekatan dapat disusun menjadi 2! = 2×1 = 2 cara. (ingat bahwa 0! = 1)
Jadi, banyak cara mereka dapat duduk secara berlainan jika direktur dan sekretaris selalu berdekatan adalah 6 x 2 = 12 cara
Soal 2
Dalam suatu kegiatan perlombaan matematika, terdapat 3 orang dari sekolah X, 4 orang dari sekolah Y, 4 orang dari sekolah A, dan 2 orang dari sekolah B. Mereka semua diperintahkan untuk duduk melingkar dengan syarat peserta yang berasal dari sekolah yang sama harus duduk berdampingan. Tentukan banyak cara untuk mengatur susunan duduk semua peserta perlombaan!
Pembahasan:
Karena ada syarat bahwa peserta yang berasal dari sekolah yang sama harus duduk berdampingan maka setiap kelompok dari sekolah yang sama kita misalkan sebagai satu objek.
3 orang dari sekolah X sebagai satu objek 4 orang dari sekolah Y sebagai satu objek 4 orang dari sekolah A sebagai satu objek 2 orang dari sekolah B sebagai satu objek
Banyak cara mengatur 4 objek berdasarkan konsep permutasi siklis adalah (4-1)! = 3! = 3x2x1 = 6 cara
Ingat bahwa setiap kelompok elemen yang kita misalkan sebagai satu objek masih dapat diatur ragam posisi duduknya, yaitu
Cara duduk 3 orang dari sekolah X = 3! = 3x2x1 = 6 cara Cara duduk 4 orang dari sekolah Y = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara Cara duduk 4 orang dari sekolah A = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara Cara duduk 2 orang dari sekolah B = 2! = 2x1 = 2 cara
Jadi, banyak cara untuk mengatur susunan duduk semua peserta perlombaan adalah 6 x 6 x 24 x 24 x 2 = 41.472 cara
Soal 3
Raffi mempunyai lima anak yaitu Ana, Ani, Anto, Andri, dan Ahmad. Tentukan banyaknya cara yang dapat digunakan Raffi dan kelima anaknya untuk duduk mengelilingi meja makan bila (a) tidak ada syarat, (b) Ana dan Ani harus duduk berdampingan, dan (c) Ana dan Ani tidak boleh duduk berdampingan!
Pembahasan:
Banyaknya objek yang akan duduk mengelilingi meja bundar adalah 6 orang, maka n = 6.
(a) Banyak cara untuk duduk (tanpa syarat) adalah (6-1)! = 5! = 5x4x3x2x1 = 120 cara
(b) Banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan.
Misalkan Ana dan Ani adalah satu objek, maka banyak cara duduk dari 5 objek adalah (5-1)! = 4! = 4x3x2x1 = 24 cara
Ingat bahwa posisi Anda dan Ani dapat bertukar tempat dengan kata lain cara Ana dan Ani duduk adalah 2! = 2×1 = 2 cara.
Jadi, banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan adalah 24 x 2 = 48 cara.
(c) Banyak cara untuk duduk jika Ana dan Ani tidak boleh duduk berdampingan
Pada poin ini, kita tinggal mengurangi banyak cara duduk keseluruhan (tanpa syarat) terhadap banyak duduk jika Ana dan Ani harus duduk berdampingan. Sehingga diperoleh 120 – 48 = 72 cara.