Sudut Antara Garis dan Bidang: Pengertian dan Contoh Soalnya

Jarak dan sudut adalah pembahasan utama dalam dimensi tiga. Penjabaran mengenai jarak dan sudut ini akan lebih sering dikaitkan dengan bangun ruang. Sudut dapat dibentuk oleh dua garis, dua bidang, ataupun antara garis dan bidang.

Apa itu Sudut antara Garis dan Bidang?

Sudut antara garis g dengan bidang W dinyatakan oleh sudut lancip yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksinya pada bidang W. Ilustrasi yang menggambarkan sudut antara garis dan bidang ditunjukkan pada gambar berikut:

A’ adalah proyeksi dari titik A. Garis g memotong bidang W di titik O, dan sudut antara garis g dan bidang W dinyatakan oleh sudut α.

Contoh Soal Sudut antara Garis dan Bidang

Berikut beberapa soal mengenai sudut antara garis dan bidang disertai dengan pembahasan lengkapnya.

Contoh Soal 1

Misalkan diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 8 cm. Jika ditarik ruas garis yang melalui titik B dan titik G, maka tentukan besar sudut yang terbentuk antara ruas garis BG dan bidang ACGE!

Jawab:

Bidang ACGE adalah diagonal bidang. Untuk menentukan sudut antara ruas garis BG dan bidang ACGE, maka perlu ditarik ruas garik antara titik G dan titik K, dimana titik K adalah titik tengah pada ruas garis AC. Sehingga sudut yang terbentuk antara ruas garis BG dan bidang ACGE sama dengan sudut antara ruas garis KG dan ruas garis BG, dimisalkan dengan sudut α.

Perhatikan ilustrasi berikut agar lebih memahami prosedur penyelesaian soal ini.

Untuk mempermudah penyelesaian, maka fokus pada ΔBDG.

Pada ΔBDG, BK = KD, karena titik K juga merupakan titik perpotongan antara ruas garis BD dan ruas garis AC.

ΔBDG juga merupakan segitiga sama sisi karena BD = DG = BG (ketiganya merupakan diagonal sisi pada kubus). Hal ini mengakibatkan setiap sudut pada titik-titik sudut ΔBDG sama besar, yaitu 60⁰.

Sudut antara ruas garis KG dan ruas garis BG sudut α, yang besarnya setengah dari sudut BGD. Dengan kata lain besar sudut α adalah

Contoh Soal 2

Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan titik K, titik L, titik M, dan titik N masing masing adalah titik tengah dari ruas garis TA, ruas garis TB, ruas garis TC dan ruas garis TD. Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut.

1. Sudut antara ruas garis TB dan bidang ABCD lebih besar daripada sudut antara ruas garis TB dan bidang KLMN
2. Sudut antara ruas garis TA dan bidang ABCD sama dengan sudut antara ruas garis TC dan bidang ABCD
3. Sudut antara ruas garis TC dan bidang ABCD sama dengan sudut antara ruas garis TM dan bidang KLMN
4. Sudut antara ruas garis TK dan bidang KLMN sama dengan sudut antara ruas garis TM dan bidang KLMN

Selidikilah apakah keempat pernyataan di atas merupakan pernyataan yang benar atau salah!

Jawab:

Berdasarkan informasi pada soal, diperoleh ilustrasi seperti berikut

Dengan melihat ilustrasi di atas, akan semakin mempermudah dalam menjawab pertanyaan di atas.

1. Pernyataan 1 bernilai SALAH. Alasannya karena sudut antara ruas garis TB dan bidang ABCD sama dengan sudut antara ruas garis TB dan bidang KLMN

2. Pernyataan 2 bernilai BENAR. Hal ini karena limas T.ABCD merupakan limas beraturan, sehingga sudut antara ruas garis TA dan bidang ABCD sama dengan sudut antara ruas garis TC dan bidang ABCD

3. Pernyataan 3 bernilai BENAR. Hal ini karena ruas garis TM berhimpit dengan ruas garis TC, dan bidang KLMN sejajar dengan bidang ABCD, sehingga sudut antara garis TC dan bidang ABCD sama dengan sudut antara garis TM dan bidang KLMN

4. Pernyataan 4 bernilai BENAR. Alasannya analog dengan pernyataan 2 karena bidang KLMN sejajar dengan bidang ABCD.

Contoh Soal 3

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 satuan. Tentukan nilai tangen (tan) dari sudut yang dibentuk oleh ruas garis AG dengan bidang ABCD.

Jawab:

Kita misalkan sudut yang dibentuk oleh ruas garis AG dengan bidang ABCD dengan sudut α.

Untuk mempermudah penyelesaian, terlebih dahulu gambarkan dulu semua informasi yang diperoleh dari soal.

Segitiga ACG pada gambar di atas merupakan segitiga siku-siku. Untuk menentukan nilai tan α, kita bisa menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku.

Ruas garis GC merupakan rusuk kubus sehingga panjang GC = 4 cm. Sedangkan panjang AC diperoleh dari penerapan teorema Pythagoras pada segitiga ABC.

Setelah diperoleh panjang GC dan panjang AC maka dapat ditentukan nilai tan α sebagai berikut.