Himpunan Bilangan: Pengertian – Jenis dan Contoh Soal

Dalam membahas bilangan prima dan bilangan lainnya, tentu akan ada himpunan bilangan. Apakah himpunan bilangan itu?. Dan apa saja jenisnya?. Berikut pembahasannya.

Apa itu Himpunan Bilangan?

George Cantor mendefinisikan, bahwa Himpunan adalah kumpulan atas objek-objek.

Pengertian himpunan secara umum merupakan pengelompokkan benda atau objek yang anggotanya bisa diartikan atau ditentukan dengan jelas.

Jadi, himpunan harus dideskripsikan dengan jelas, agar dapat dibedakan atau ditentukan antara objek yang ada dan yang tidak ada di himpunan tersebut.

Ciri-ciri Himpunan Bilangan

Berikut ciri-ciri bilangan atau benda yang termasuk himpunan:

• Ada sebuah benda yang termasuk suatu anggota himpunan.
• Ada sejumlah unsur pembentukan himpunan.
• Ada unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

Notasi Himpunan

Sebuah Himpunan biasanya akan diberi nama untuk memudahkan, kemudian biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf Kapital.

Huruf kapital seperti A, B, C, ….,Z. Biasanya, huruf kapital tersebut berasal dari huruf awal nama himpunan tersebut.

Sedangkan, untuk anggota himpunan ditulis diantara kurung kurawal, yaitu { …, …, … }.

Berikut ini beberapa notasi dalam himpunan:

• ∈, memilki arti Elemen.
• ∉, memiliki arti bukan Elemen.
• ⊂, memiliki arti himpunan bagian.
• =, memiliki arti sama dengan atau bernilai sama.
• ≠, memiliki arti bukan sama dengan.
• {} / ∅, memiliki arti himpunan kosong
• {: }, memiliki arti bagian himpunan dari.

Jenis-jenis Himpunan

• Himpunan Bilangan Asli

A = { 1, 2, 3, 4, 5, … }
A didapatkan dari awalan kata “Asli”, sehingga dituliskan oleh A kapital.

• Himpunan Bilangan Cacah

C = { 0, 1, 2, 3, 4, .. }

• Himpunan Bilangan Prima

P = { 2, 3, 5, 7, 11, …}

• Himpunan Bilangan Genap

G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, …}

• Himpunan Bilangan Ganjil

G = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

• Himpunan Bilangan Komposit

K = { 4, 6, 8, 9, 10, … }

• Himpunan tak terhingga

A = { 1, 3, 5, 7, … }
(n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)

• Himpunan terhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }
n{B) = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah 4)

• Himpunan Kosong

K = {}
K = {himpunan bilangan prima antara 7 dan 10}
K = { }
Karena, jumlah anggota bilangan prima antara 7 dan 10 tidak ada.

• Himpunan Bagian

A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Semua aggota bilangan Himpunan A merupakan anggota Himpunan B.

Sehingga dapat dikatakan bahwa, A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

• Himpunan Semesta

A = { 3, 5, 7 } maka beberapa himpunan semesta bisa menjadi kemungkinan himpunan A adalah:
S = { bilangan asli }
S = { bilangan ganjil }
S = { bilangan prima }

Cara Menyatakan Himpunan

Ada beberapa cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu:

1. Mendaftar

Mendaftar adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyatakan himpunan dan metode ini digunakan dengan cara menyebutkan anggota himpunan secara satu per satu.

Contoh:

• Suatu himpunan X adalah bilangan diantara 1 sampai 5.
  X = { 1, 2, 3, 4, 5}
• Suatu himpunan Z berisi huruf vokal.
  Z = { a, i, u, e, o }.

2. Pembentukan Himpunan

Metode ini digunakan dengan cara menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyebutkan sifatnya.

Contoh:

• Himpunan N adalah suatu himpunan yang anggota bilangannya negatif.
  N = { x | x adalah bilangan negatif }

3. Menggunakan Kata-kata

Metode ini digunakan dengan cara merangkai sebuah kalimat yang menggambarkan sesuatu.

Contoh:

• G adalah himpunan yang anggotanya bilangan genap
  G = {bilangan genap}.

Contoh Himpunan

Untuk lebih memahami dari pengertian himpunan, perhatikan contoh di bawah ini:

• Kumpulan orang tua yang bekerja
• Kumpulan anak basket
• Kumpulan mahasiswa pintar
• Kumpulan mahasisa IP diatas 3,5
• Kumpulan kamus
• Kumpulan buah-buahan
• Kumpulan perempuan cantik bogor.

Penjelasan:
Pada contoh 3 dan 4 terilat sama, mungkin dengan IP diatas 3,5 pastilah pintar, tapi pintar tersebut memiliki kriteria dan arti yang luas atau setiap orang memiliki penilaian yang berbeda-beda (relatif), sehingga tidak bisa disamakan.

Jika IP diatas 3,5 pastinya ada data bahwa mahasiswa tersebut memang mendapatkan IP diatas 3,5.

Contoh 3 dan 7 tidak termasuk himpunan karena anggotanya tidak dapat di definisikan atau ditetapkan dengan jelas.

Sedangkan contoh 1,2,4,5, dan 6 termasuk himpunan karena anggotanya dapat didefinisikan atau ditentukan dengan tepat.

Contoh Soal Himpunan

1. Diketahui:
S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B = { 6, 7, 8 }

Tentukanlah A ∪ B dan gambar diagram Venn-nya!

Penyelesaian:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Perlu diingat kembali bahwa ∪ adalah gabungan, (ingat saja gab∪ngan) jadi, angka A ∪ B yang berada di A dan B di tulis menjadi satu himpunan.

Diingat lagi bahwa S adalah semesta, jadi jika ada angka yang termasuk himpunan semesta tetapi angka-angka tersebut tidak ada di himpunan manapun, maka bisa disimpan diluar lingkaran.

2. A adalah himpunan bilang asli kurang dari 5 dan B adalah nama bulan.

Penyelesaian:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {januari, februari, maret, april, mei, juni, juli, agustus, september, oktober, november, desember}.

3. Jika, sebuah himpunan O = {1 bilangan diantara 7 dan 9} anggota dari 0 adalah …

Penyelesaian:
Perlu diketahui, bahwa angka diantara 7 dan 9 hanya ada satu, yaitu 8.

Jadi, O = { 8 }

4. Jika A = {faktor dari 8} dan B = {bilangan prima kurang dari 7}
maka, A ∩ B = …

Penyelesaian:
A = { 1, 2, 4, 8 }
B = { 2, 3, 5 }

Perlu diingat kembali bahwa  ∩ adalah irisan (ingat saja dari kata irisa(n) ). Jadi,  ∩ adalah himpunan yang berisi angka yang ada di himpunan A dan ada juga di himpunan B.

 Jadi, A  ∩ B = {2}.