Daftar isi
Dalam matematika ada yang disebut turunan. Dengan turunan dapat diketahui misalnya fungsi posisi suatu benda. Turunan memiliki kebalikan atau antiturunan. Antiturunan dikenal dengan sebutan integral. Salah satu jenis integral adalah integral tak tentu.
Di bawah ini penjelasan lengkap tentang integral tak tentu yang perlu diketahui:
Integral tak tentu, yang dalam Bahasa Inggris disebut indefinite integral adalah integral yang tidak mempunyai batas-batas tertentu, sehingga hasilnya hanya diperoleh fungsi umumnya saja dan disertasi suatu konstanta C. Integral merupakan kebalikan dari turunan. Maka dari itu integral tak tentu disebut juga antiturunan atau antiderivatif.
Integral tak tentu merupakan suatu bentuk pengintegralan suatu fungsi dan menghasilkan fungsi yang baru. Dimana fungsi ini belum memiliki nilai pasti atau bentuk variabel. Oleh karena itu, cara pengintegralannya menghasilkan fungsi tak tentu. Hingga kemudian disebut integral tak tentu.
Persamaan dasar integral tak tentu adalah rumus umum untuk mengonversikan fungsi turunan menjadi fungsi integral. Persamaan dasar tersebut sebagai berikut:
Syarat, n ≠ -1
Persamaan ini menunjukkan bahwasanya proses integrasi akan menyebabkan kenaikan pangkat suatu fungsi. Fungsi tersebut awalnya berpangkat n, dan fungsi integrasinya berpangkat n+1.
Sifat-sifat integral tertentu merupakan bentuk lain dari operasi integral yang dapat memudahkan kita dalam menyelesaikan soal-soal terkait integral. Berikut ini sifat-sifat integral tak tentu tersebut:
Sifat pertama berhubungan dengan integral suatu fungsi yang memiliki atau memuat suatu konstanta seperti di bawah ini:
Maka, apabila menemukan bentuk soal integral seperti di atas, keluarkan konstanta k dari tanda integral, supaya dapat fokus pada penyelesaian integral fungsinya.
Sifat kedua integral tak tentu berlaku pada penjumlahan dua fungsi di dalam integral. Misalnya seperti berikut:
Maka, dua fungsi yang dijumlahkan dalam satu tanda integral bisa diubah menjadi penjumlahan integral dari masing-masing fungsinya. Sifat ini akan memudahkan penyelesaian soal dengan fungsi-fungsi yang cukup panjang. Contohnya:
Sifat ketiga berlaku dalam pengurangan dua fungsi yang terdapat dalam satu tanda integral. Konsepnya sama dengan sifat kedua.
Yang perlu diingat, pada pengurangan tidak berlaku sifat komutatif.
Sedangkan untuk perkalian dua fungsi integral, harus mengalikan semua elemen fungsi satu persatu. Maka akan dihasilkan bentuk penjumlahan. Misalnya:
(x – 2)(x + 5) = x2 + 3x – 10
Tetapi, pembelajaran khusus perkalian dan pembagian dua fungsi dalam integral masuk ke bab tersendiri yaitu pembelajaran integral parsial dan substitusi.
Di masyarakat awam, mungkin masih banyak yang menganggap bahwa integral hanyalah suatu simbol matematis. Namun sebenarnya, ada beberapa permasalahan yang dapat diselesaikan menggunakan konsep integral tak tentu. Berikut ini contoh masalah yang bisa diselesaikan dengan integral tak tentu:
Gradien merupakan turunan pertama dari fungsi suatu kurva. Apabila persamaannya diketahui, dan perlu untuk menentukan kurvanya, maka penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan fungsi gradien yang diketahui itu.
Perhatikan contoh berikut ini:
Suatu garis menyinggung kurva f(x). Kurva tersebut melalui titik (1, 2). Jika gradien garis singgungnya dinyatakan sebagai f’(x) = 2x + 5, tentukan persamaan kurvanya!
Pembahasan:
Pertama, tentukan dahulu fungsi kurvanya dengan cara mengintegralkan fungsi gradien garis singgung.
Dikarenakan kurva melalui titik (1, 2), maka substitusikan x = 1 dan f(x) = 2 pada persamaan kurva di atas.
Jadi, diperoleh persamaan kurvanya adalah f(x) = x2 + 5x – 4.
Dalam Fisika, terdapat istilah posisi, kecepatan, dan percepatan. Ketiga besaran tersebut saling berkaitan. Sebab, kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi posisi. Sedangkan percepatan merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan. Maka dari itu dapat menentukan fungsi kecepatan dari fungsi percepatan dengan memanfaatkan sistem integral.
Selain itu, fungsi posisi juga dapat diketahui dari fungsi kecepatan atau dari fungsi percepatan. Persamaan integralnya seperti berikut:
Keterangan:
a(t) = fungsi percepatan;
v(t) = fungsi kecepatan;
s(t) = fungsi posisi; dan
C = suatu konstanta.
Perhatikan contoh berikut:
Jika suatu partikel bergerak dengan fungsi kecepatan v(t) = 6t2 – 4t. Apabila jarak tempuh partikel saat t = 1 s adalah 2 m, tentukan fungsi posisi partikel tersebut!
Pembahasan:
Tentukan terlebih dahulu fungsi posisinya dengan cara mengintegralkan fungsi kecepatan di atas.
Kemudian, substitusikan t = 1 s dan s(1) = 2 pada persamaan fungsi posisi di atas.
Jadi, persamaan fungsi posisinya adalah s(t) = 2t3 – 2t2 + 2.
Selain fungsi aljabar, fungsi trigonometri pun dapat diintegralkan. Bentuk integral fungsi trigonometri sebagai berikut:
Apabila menemukan soal-soal integral trigonometri, yang perlu dilakukan adalah memanipulasi fungsi sedemikian rupa sehingga mengarah pada bentuk persamaan di atas.
Agar lebih memahami tentang integral tak tentu, di bawah ini kami berikan contoh soal dan penyelesaiannya:
Tentukan hasil integral berikut.
Pembahasan:
Soal di atas berkaitan dengan sifat kedua integral tak tentu, yaitu integral penjumlahan dua fungsi sama dengan jumlah integral masing-masing fungsinya. Maka, penyelesaiannya seperti berikut ini:
Jadi, hasil integralnya adalah 32×4+43×3-37x+C.