Daftar isi
Aljabar sebagai materi matematika merupakan temuan yang unik dan sekaligus sangat bermanfaat bagi pengembangan ilmu matematika.
Pengertian Aljabar
Aljabar merupakan salah satu rumpun matematika yang penting, karena manfaatnya yang besar dalam memahami konsep lain ilmu matematika.
Aljabar adalah salah satu cabang matematika yang bertujuan memecahkan persoalan matematika dengan mengalihkan bentuk bilangan atau sejenisnya dengan simbol.
Unsur-unsur Aljabar
1. Variabel
Apa itu variabel? Pernahkah kamu menemukan permisalan seperti (a + b) = (b + a) dalam pelajaran matematika?
Berapakah nilai/angka dari a dan/atau b tersebut? Jawabannya adalah nilai dari a dan b tidak diketahui.
Jadi yang dimaksud dari variabel adalah penyederhanaan suatu bilangan dengan simbol yang nilai sebenarnya tidak diketahui dengan jelas.
Dalam persoalan matematika variabel umumnya disimbolkan dengan huruf abjad kecil, berikut contohnya:
Variabel pada gambar disamping diwakili oleh huruf “x”. Pada umumnya penggunaan variabel pada aljabar adalah untuk mencari nilai yang belum diketahui dalam penerapan suatu operasi aritmatika.
Persoalannya adalah bilangan berapakah yang dapat mewakili operasi perkalian dengan angka 5 jika nanti dikurangi 3 menjadi 12?
Jawabannya adalah 3, bila x diganti dengan angka 3 operasi aljabar berubah menjadi (5 x 3) – 3 = 12.
2. Konstanta
Jika kita sudah paham mengenai variabel, maka dipastikan kita akan mudah dalam memahami apa yang dimaksud dengan konstanta.
Konstanta adalah bilangan yang tidak ada variabelnya atau bilangan yang tidak dibubuhi dengan variabel, untuk lebih memahaminya lihat gambar disamping.
3. Koefisien
Setelah memahami apa itu variabel dan apa itu konstanta, maka langkah selanjutnya adalah memahami koefisien.
Maksud dari koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku yang ada dalam bentuk aljabar.
Koefiesien ini sebenarnya adalah konstanta dari sebuah variabel misalnya pada gambar disamping yang dipertanyakan adalah koefisien dari varibael ” x”.
4. Suku
Unsur selanjutnya dari aljabar adalah suku. Suku didefinisikan sebagai bentuk kumpulan dari variabel dan koefisiennya atau konstanta yang dipisahkan oleh operasi berupa jumlah atau selisih.
Ada beberapa macam suku dalam aljabar, antara lain sebagai berikut:
- Suku satu
Bentuk aljabar yang tidak dihubungkan atau dipisah oleh operasi jumlah atau selisih.
Contoh: 3x
- Suku dua
Bentuk aljabar yang dipisahkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.
Contoh: x + 2y
- Suku tiga
Bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi atau selisih.
Contoh: 2x + 2y – xy
Catatan: Bentuk aljabar yang memiliki lebih dari dua suku disebut dengan suku banyak atau polinom.
Operasi Hitung Aljabar
Kali ini kita akan memahami bagaimana mengaplikasikan aljabar pada operasi hitung seperti pengurangan, penjumlahan, perkalian, pembagian dan terakhir perpangkatan. Untuk lebih jelasnya simak ulasan berikut:
1. Penjumlahan dan pengurangan
Sifat-sifat yang dimiliki pada pengurangan dan penjumlahan bilangan bulat juga berlaku pada rumus aljabar, adapun sifat-sifatnya adalah sebagaimana dalam gambar berikut:
Contoh soal:
3ab + 5 ab = 8ab
12y+7+3y+2 = (12 y + 3y) + (7 + 2), = 15y + 9
Dalam sifat komutatif penjumlahan aljabar berlaku ketentuan apabila simbol dibalik maka hasil pejumlahan tetap sama.
Dalam sifat asosiatif berlaku penjumlahan aljabar meskipun dikelompokkan dengan cara berbeda hasilnya akan tetap sama.
Selanjutnya, sifat distributif bahwa dalam aljabar bilangan bisa dikombinasikan sedemikian rupa sehingga lebih sederhana.
2. Perkalian
Konsep dasar dari bentuk perkalian aljabar adalah sifat-sifat distributif yang dimiliki pada bentuk perkalian. Sifat tersebut secara aplikatif adalah sebagai berikut:
- Perkalian suku satu dan suku dua
Contoh Soal:
a. 2 (x + 3)
b. -5 (9 + y)
Untuk memahami lebih lanjut perkalian dari aljabar tersebut kita harus paham mengenai sifat distributif dari perkalian.
Sifat distributif ini disebut juga dengan sifat penyebaran, cara pengoperasian umumnya dengan mengkombinasikan setiap unsur bilangan yang ada.
Permisalan aljabar untuk sifat distributif perkalian ini adalah a x (b + c) = (a x b) + ( a x c).
Tujuan dari aljabar adalah untuk menyederhanakan bilangan dan oleh karena itu sifat distributif perkalian juga berlaku untuk perkalian aljabar.
- Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Dalam perkalian suku dua dengan suku dua pada rumus aljabar permisalan yang digunakan adalah sebagai berikut:
(a + b) (c + d) = ( a + b) c + ( a + b) d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Contoh Soal:
(x + 5) x ( x + 3)?
Penyelesaian:
(x + 5) (x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x2 + 5x + 3x + 15
= x2 + 8x + 15
Dalam perkalian suku dua tersebut juga berlaku sifat distributif dalam perkalian.
Langkahnya berupa penyederhanaan bentuk aljabar sedemikian rupa melalui kombinasi simbol hingga bentuknya yang paling sederhana.
Dalam contoh soal di atas bentuk paling sederhana adalah ac + ad + bc + bd.
3. Pembagian
Bila dicermati, dalam penyelesaian soal disamping terlihat bahwa operasi pembagian aljabar pada tahap ini tidak menggunakan sifat-sifat bilangan bulat lainya.
Dalam pembagian aljabar langkah pertama rubah dulu pembagian ke dalam bentuk pecahan, selanjutnya baru penyederhanaan aljabar dioperasikan berdasarkan bentuk perubahannya.
Apabila pembilang atau penyebut berbentuk penjumlahan berlaku operasi aljabar berupa penjumlahan, apabila berbentuk perkalian berlaku operasi perkalian aljabar.
Dalam contoh soal disamping berlaku operasai perkalian aljabar.
Setelah itu barulah bentuk paling sederhana dari pembagian aljabar bisa ditemukan sebagaimana dijelaskan pada contoh soal.
4. Perpangkatan
Operasi hitung terkahir yang akan dijelaskan pada pembahasan ini adalah bentuk pangkat dari aljabar.
Dalam pembahasan ini akan dijelaskan bagaimana cara memangkatkan aljabar.
Keterangan:
a = bilangan riil
n = bilangan asli
Mengenai bentuk perpangkatan aljabar ini sedikit lebih kompleks penyelesaiannya dibandingkan operasi hitung lainya.
Untuk lebih mudahnya simak rumus segitiga pascal pada pembahasan berikut:
Perhatikan pada contoh gambar di samping ini dengan seksama agar anda bisa lebih paham dan bisa menyelesaikan soal yang masih bersangkutan seperti pada gambar di samping ini.
Contoh:
(-2X)2 = (-2x) x (-2x)
= 4x2
Itulah beberapa rumus aljabar yang wajib anda ketahui. Melalui penjelasan di atas semoga kita lebih paham mengenai apa saja rumus dan penerapan dari aljabar.
Pada rumus aljabar setidaknya terdapat beberapa unsur dari aljabar, yaitu: