Daftar isi
Pembahasan materi lingkaran mencakup banyak hal meliputi luas lingkaran, keliling lingkaran, juring, tembereng, persamaan lingkaran, garis singgung lingkaran, dan juga mengenai sudut dalam lingkaran.
Sudut dalam lingkaran nantinya akan berkaitan juga dengan materi garis dan sudut. Nah, agar lebih mengenal dan memahami apa itu sudut dalam lingkaran, simak penjelasan berikut ya!
Apa itu Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran?
Pengertian mengenai sudut pusat lingkaran adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh pusat lingkaran dengan dua titik sembarang yang terletak pada busur lingkaran.
Sudut pusat lingkaran dapat juga diartikan sebagai sudut yang dibentuk oleh dua buah garis jari-jari dan busur lingkaran yang diapit oleh kedua garis jari-jari tersebut. Satu hal yang harus diperhatikan adalah sudut pusat lingkaran selalu melalui pusat lingkaran.
Sudut keliling dapat diartikan sebagai sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur. Jika pada sudut pusat lingkaran selalu melalui pusat lingkaran, maka sudut keliling lingkaran tidak demikian.
Sudut keliling lingkaran dibentuk oleh tiga buah titik yang terletak pada busur lingkaran. Walaupun begitu ada suatu posisi ketika sudut keliling lingkaran juga melalui titik pusat pusat lingkaran, namun titik pusat lingkaran tidak menjadi salah satu titik sudutnya.
Agar lebih memahami perbedaan sudut pusat lingkaran dan sudut keliling lingkaran, perhatikan ilustrasi gambar berikut:
Sudut POQ adalah sudut pusat, sedangkan sudut PAQ adalah sudut keliling lingkaran. Sudut pusat POQ melalui titik pusat lingkaran O dan dua titik pada busur lingkaran yaitu titik P dan titik Q.
Sedangkan sudut lingkaran PAQ melalui tiga titik yang semuanya terletak pada busur lingkaran yaitu titik P, titik A, dan titik Q. Perhatikan bahwa sudut pusat POQ dan sudut keliling PAQ menghadap busur yang sama yaitu busur PQ.
Sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran
Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran mempunyai karakteristik masing-masing. Bahkan keduanya juga memiliki hubungan satu sama lain. Hal ini dapat dikatakan sebagai sifat dari sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.
Berikut beberapa sifat sudut pusat dan sudut lingkaran yang perlu diketahui dan dipahami:
1. Besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling lingkaran
Sifat ini hanya berlaku jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap satu busur yang sama. Jika keduanya menghadap busur yang berbeda, maka sifat ini tidak berlaku. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, sudut BOC adalah sudut pusat lingkaran yang menghadap busur BC. Sedangkan sudut BAC adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap busur BC. Karena sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka berlaku besar sudut pusat BOC sama dengan dua kali sudut keliling BAC.
Secara matematis dapat ditulis : ∠ BOC = 2 × ∠ BAC
2. Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran akan selalu membentuk sudut siku-siku
Ketika sudut keliling lingkaran menghadap diameter maka sudut yang terbentuk merupakan sudut siku-siku atau besar sudutnya adalah 900. Sifat ini dapat digambarkan sebagai berikut.
Sudut BDC dan sudut BAC adalah sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter lingkaran (ruas garis BC). Jadi dapat disimpulkan bahwa ∠ BDC = ∠ BAC = 900.
3. Beberapa sudut keliling akan mempunyai besar sudut yang sama jika sudut-sudut keliling tersebut menghadap busur yang sama
Pada gambar di bawah ini, sudut PQR, sudut PTR, dan sudut PVR adalah sudut keliling lingkaran. Perhatikan bahwa ketiga sudut tersebut menghadap satu busur yang sama yaitu busur PR. Jadi, besar ketiga sudut keliling tersebut adalah sama.
Secara matematis dapat ditulis : ∠ PQR = ∠ PTR = ∠ PVR
4. Jumlah besar dua sudut keliling lingkaran yang saling berhadapan adalah 1800
Satu lagi sifat mengenai sudut keliling lingkaran adalah bahwa dua sudut keliling yang saling berhadapan akan berjumlah sudut 1800.
Sudut BAC berhadapan dengan sudut BDC sehingga ∠ BAC + ∠ BDC = 1800.
Contoh Soal dan Pembahasan sudut pusat dan sudut keliling Lingkaran
1. Diketahui lingkaran dengan pusat O dengan sudut pusat POQ dan sudut keliling PRQ. Jika besar sudut keliling PRQ adalah 400. Tentukan besar sudut pusat POQ!
Pembahasan:
Mari kita ilustrasikan dulu informasi yang ada pada soal dalam bentuk gambar agar lebih jelas. Perhatikan gambar berikut.
Sudut pusat POQ menghadap busur PQ, sedangkan sudut keliling PRQ juga menghadap busur PQ. Dengan demikian kondisi ini memenuhi persyaratan sifat “Besar sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling lingkaran”.
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
∠POQ = 2 × ∠PRQ
<=> ∠POQ = 2 × 400
<=> ∠POQ = 800
2. Perhatikan gambar lingkaran berikut!
Jika besar sudut ACB adalah 780, maka nilai x adalah …
Pembahasan:
Soal ini masih satu tipe dengan soal nomor 1.
Sudut AOB adalah sudut pusat, dan sudut ACB adalah sudut keliling. Perhatikan bahwa sudut AOB dan sudut ACB menghadap busur yang sama yaitu busur AB. Maka diperoleh hubungan ∠AOB = 2 × ∠ACB .
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
∠AOB = 2 × ∠ACB
<=> 5x – 4 = 2 × 78
<=> 5x = 156 + 4
<=> 5x = 160
<=> x = 320
3. Perhatikan gambar berikut!
Diketahui titik O adalah titik pusat lingkaran. Jika ∠PQT + ∠PRT + ∠PST = 2040. Maka tentukan besar sudut POT!
Pembahasan:
Sudut PQT, sudut PRT, dan sudut PST adalah sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur PT. Ingat kembali sifat sudut keliling yang menghadap busur yang sama pasti akan memiliki besar sudut yang sama pula. Atau bisa dikatakan bahwa ∠PQT = ∠PRT = ∠PST.
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
Dimisalkan ∠PQT = ∠PRT = ∠PST = x
∠PQT + ∠PRT + ∠PST = 2040
<=> x + x + x = 204
<=> x = 204
<=> x = 680
Sehingga diperoleh ∠PQT = ∠PRT = ∠PST = 680
Sudut POT adalah sudut pusat yang menghadap busur PT (sama dengan sudut PQT yang juga menghadap busur PT), sehingga besar sudut POT sama dengan dua kali sudut PQT.
∠POT = 2 × ∠PQT
<=> ∠POT = 2 × 680
<=> ∠POT = 1360
4. Perhatikan gambar berikut!
Diketahui lingkaran dengan pusat O. Jika ∠ABE + ∠ACE + ∠ADE = 1980. Tentukan besar sudut AOB!
Pembahasan:
Sudut ABE, sudut ACE, dan sudut ADE adalah sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AE. Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama pasti akan memiliki besar sudut yang sama pula. Sehingga bisa ditulis bahwa ∠ABE = ∠ACE = ∠ADE.
Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
Dimisalkan ∠ABE = ∠ACE = ∠ADE = x
∠ABE + ∠ACE + ∠ADE = 1980
<=> x + x + x = 198
<=> 3x = 198
<=> x = 660
Sehingga diperoleh ∠ABE = ∠ACE = ∠ADE = 660
Sudut AOE adalah sudut pusat yang menghadap busur AE (sama dengan sudut ABE yang juga menghadap busur AE), sehingga besar sudut AOE sama dengan dua kali sudut ABE.
∠AOE = 2 × ∠ABE
<=> ∠AOE = 2 × 660
<=> ∠AOE = 1320
Perhatikan bahwa sudut AOE dan sudut AOB adalah dua sudut yang saling berpelurus.
∠AOE + ∠AOB = 1800
<=> ∠AOB = 1800 – ∠AOE
<=> ∠AOB = 1800 – 1320
<=> ∠AOB = 480
5. Tentukan besar sudut CBD pada gambar berikut!
Pembahasan:
Sudut CBD, sudut BDC dan sudut BCD adalah tiga sudut keliling yang membentuk segitiga BCD. Dari soal sudah diketahui bahwa ∠BCD = 300.
Perhatikan bahwa sudut BDC adalah sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran. Berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling lingkaran diketahui bahwa besar sudut keliling yang menghadap diameter adalah 900. Sehingga bisa dituliskan ∠BDC = 900.
Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800, dan sudut CBD, sudut BDC serta sudut BCD adalah tiga sudut keliling yang membentuk segitiga BCD. Maka dapat dituliskan bahwa:
∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 1800
<=> ∠CBD + 900 + 300 = 1800
<=> ∠CBD = 1800 – 1200
<=> ∠CBD = 600
6. Perhatikan gambar berikut!
Tentukan besar sudut BAC jika diketahui besar sudut ABC adalah 600 dan besar sudut BAO adalah 150!
Pembahasan:
Sudut ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC, sama dengan sudut pusat AOC yang juga menghadap busur AC. Dari kondisi ini dapat diperoleh
∠AOC = 2 × ∠ABC
<=> ∠AOC = 2 × 600
<=> ∠AOC = 1200
Perhatikan segitiga AOC merupakan segitiga sama kaki (karena ruas garis OA dan OC merupakan jari-jari lingkaran sehingga OA = OC). Dengan demikian dapat diketahui bahwa ∠OAC = ∠OCA.
Ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga sama dengan 1800. Sehingga jika dimisalkan ∠OAC = ∠OCA = x , maka
∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 1800
<=> x + x + 1200= 1800
<=> 2x = 1800 – 1200
<=> x = 300
Diperoleh ∠OAC = ∠OCA= 300
Dari gambar diketahui bahwa ∠BAC = ∠BAO + ∠OAC
∠BAC = ∠BAO + ∠OAC
<=> ∠BAC = 150 + 300
<=> ∠BAC = 450.