Daftar isi
Pembahasan kali ini masih berkaitan dengan lingkaran. Ada banyak hal yang bisa dibahas mengenai lingkaran. Mulai dari sifat-sifat lingkaran, persamaan lingkaran, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran, garis singgung lingkaran, hingga sesuai dengan topic kali ini yaitu segiempat tali busur lingkaran.
Salah bagian dari lingkaran yaitu tali busur. Nah, tahukah kalian bahwa dari tali busur ini dapat dibuat suatu segiempat sehingga kita bisa menganalisis sudut-sudutnya? Berikut kita akan uraikan pembahasannya.
Masih ingatkah dengan tali busur lingkaran? Tali busur sendiri dapat diartikan sebagai garis yang menghubungkan dua titik sembarang pada busur lingkaran. Ketika ada empat tali busur yang terhubung maka akan terbentuk segiempat.
Secara sederhana segiempat tali busur dapat diartikan sebagai sebuah bangun datar yang mempunyai empat sisi dengan keempat titik sudutnya terletak pada busur lingkaran. Jenis segiempat yang terbentuk bisa beraneka ragam, bisa membentuk persegi, persegi panjang, atau segiempat sembarang. Perhatikan gambar berikut.
Ruas garis KL, LM, MN, dan KN masing-masing adalah tali busur lingkaran. Sedangkan bidang KLMN merupakan segiempat tali busur.
Pada segiempat tali busur tersebut dapat ditarik dua garis diagonal. Dan dari dua garis diagonal ini dapat ditarik suatu hubungan sehingga bisa diturunkan menjadi suatu rumus segi empat tali busur. Berikut beberapa sifat segiempat tali busur terkait diagonal-diagonalnya.
Pada segiempat tali busur, hasil kali diagonalnya sama dengan jumlah perkaian sisi-sisi yang berhadapan pada segiempat tersebut. Perhatikan gambar berikut
Diagonal-diagonal pada segiempat tali busur lingkaran di atas adalah ruas garis KL, LM, MN, dan KN. Maka akan berlaku hubungan hasil kali diagonal sebagai berikut:
KM × LN = (KL × MN) + (LM × KN)
Sebuah segiempat tali busur disebut sebagai segiempat tali busur siku-siku jika salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran. Perhatikan gambar berikut.
Pada lingkaran dengan pusat O di atas, segiempat ABCD merupakan segiempat tali busur dengan tali busur penyusunnya adalah AB, BC, CD, dan AD. Pada segiempat ABCD terdapat dua diagonal penyusunnya yaitu AC dan BD. Perhatikan bahwa diagonal BD melewati titik pusat lingkaran O sehingga diagonal BD merupakan diameter lingkaran.
Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap ke diameter lingkaran adalah sudut siku-siku. Pada gambar di atas, ∠BAD dan ∠BCD merupakan sudut keliling yang menghadap diameter BD. Sehingga ∠BAD dan ∠BCD merupakan sudut siku-siku atau ∠BAD = ∠BCD = 900. Dan kemudian segiempat talibusur ABCD disebut sebagai segiempat talibusur siku-siku.
Sebuah segiempat tali busur dalam lingkaran dapat berupa persegi panjang jika kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran. Pada segiempat tali busur yang merupakan persegi panjang akan memenuhi sifat persegi panjang yaitu ada dua pasang sisi yang saling sejajar dan sama panjang. Selain itu setiap sudut pada persegi panjang adalah sudut siku-siku. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar di atas, diagonal AC dan diagonal BD merupakan diameter lingkaran. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap diameter adalah sudut siku-siku. Sudut-sudut keliling yang menghadap diameter adalah ∠ABC dan ∠ADC yang menghadap diameter AC, sedangkan ∠BAD dan ∠BCD yang menghadap diameter BD. Maka ∠ABC = ∠ADC = ∠BAD = ∠BCD = 900.
Dikarenakan keempat sudut pada segiempat tersebut siku-siku maka diperoleh kondisi AB ⫽ CD dan AD ⫽ BC, serta AB = CD dan AD = BC. Berdasarkan kondisi yang diperoleh maka bisa disimpulkan bahwa segiempat talibusur ABCD merupakan persegi panjang.
Selain persegi panjang, sebuah segiempat tali busur dalam lingkaran juga dapat berupa persegi. Hal ini jika segiempat tali busur dalam lingkaran mempunyai diagonal-diagonal yang merupakan diameter lingkaran dan saling tegak lurus.
Pada gambar di atas, ruas garis KM dan LN merupakan diameter lingkaran dengan pusat O. Diameter KM dan LN juga saling tegak lurus. Perhatikan pula bahwa ∠KLM = ∠LMN = ∠KNM = ∠LKN = 900 karena ∠KLM dan ∠KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM, sedangkan ∠LMN dan ∠LKN adalah sudut keliling yang menghadap diameter LN.
Pada segiempat talibusur KLMN, terbentuk empat segitiga siku-siku sekaligus sama kaki yaitu △KOL, △KON, △LOM, dan △MON. Keempat segitiga ini saling kongruen satu sama lain sehingga diperoleh KL = LM = MN = KN.
Dari kondisi yang telah diperoleh bahwa ∠KLM = ∠LMN = ∠KNM = ∠LKN = 900 dan KL = LM = MN = KN maka dapat disimpulkan bahwa segiempat talibusur KLMN adalah persegi.
Sifat segiempat tali busur selanjutnya mengenai sudut dalam segiempat tali busur. Sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur dalam lingkaran akan berjumlah 1800.
Pada segiempat tali busur ABCD di atas, ∠ABC berhadapan dengan ∠ADC dan ∠BAD berhadapan dengan ∠BCD. Perhatikan bahwa ∠ABC, ∠ADC, ∠BAD dan ∠BCD adalah sudut keliling. Besar ∠ABC dan besar ∠ADC dapat diperoleh dari
∠ABC = ½ (∠AOD + ∠DOC)
∠ADC = ½ (∠AOB + ∠BOC)
Sehingga diperoleh
∠ABC + ∠ADC = ½ (∠AOD + ∠DOC) + ½ (∠AOB + ∠BOC)
∠ABC + ∠ADC = ½ (∠AOD + ∠DOC + ∠AOB + ∠BOC)
∠ABC + ∠ADC = ½ × 3600
∠ABC + ∠ADC = 1800
Besar ∠BAC dan besar ∠BCD dapat diperoleh dari
∠BAC = ½ (∠BOC + ∠COD)
∠BCD = ½ (∠BOA + ∠AOD)
Sehingga diperoleh
∠BAC + ∠BCD = ½ (∠BOC + ∠COD) + ½ (∠BOA + ∠AOD)
∠BAC + ∠BCD = ½ (∠BOC + ∠COD + ∠BOA + ∠AOD)
∠BAC + ∠BCD = ½ × 3600
∠BAC + ∠BCD = 1800
Jadi bisa disimpulkan bahwa
∠ABC + ∠ADC = 1800 dan ∠BAC + ∠BCD = 1800
atau jumlah besar sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur dalam lingkaran sama dengan 1800.
Agar lebih memahami mengenai materi segiempat tali busur dalam lingkaran, berikut disajikan beberapa contoh soal disertai dengan pembahasan lengkapnya.
Diketahui sebuah segiempat tali busur KLMN di dalam lingkarang dengan pusat O seperti pada gambar berikut.
Jika ∠AKB, ∠PLQ, ∠RMS, dan ∠XNY adalah sudut luar segiempat KLMN, maka tunjukkan bahwa besar ∠NMS sama dengan besar ∠LKN, dan tentukan besar ∠KNM dan besar sudut KNY jika diketahui besar ∠KLM = 800!
Pembahasan:
Perhatikan ∠LMN dan ∠NMS adalah dua sudut yang saling berpelurus. Ingat kembali sifat sudut yang saling berpelurus, yaitu jumlah dua sudut yang saling berpelurus sama dengan 1800. Sehingga diperoleh,
∠LMN + ∠NMS = 1800 ⇔ ∠LMN = 1800 – ∠NMS
Perhatikan ∠LMN dan ∠LKN adalah dua sudut yang saling berhadapan dalam segiempat tali busur KLMN sehingga jumlah besar kedua sudut ini sama dengan 1800. Sehingga diperoleh,
∠LMN + ∠LKN = 1800 ⇔ (1800 – ∠NMS) + ∠LKN = 1800 ⇔ – ∠NMS + ∠LKN = 1800 – 1800 ⇔ – ∠NMS + ∠LKN = 0 ⇔ ∠NMS = ∠LKN
Terbukti bahwa besar ∠NMS sama dengan besar ∠LKN (∠NMS = ∠LKN).
Pertama-tama perhatikan ∠KNM dan ∠KLM adalah dua sudut yang saling berhadapan dalam segiempat tali busur KLMN sehingga jumlah besar kedua sudut ini sama dengan 1800.
∠KNM + ∠KLM = 1800
⇔ ∠KNM + 800 = 1800
⇔ ∠KNM = 1800 – 800
⇔ ∠KNM = 1000
Perhatikan bahwa ∠KNM dan ∠KNY adalah dua sudut yang saling berpelurus sehingga jumlah kedua sudut tersebut sama dengan 1800. Sudah diketahui besar sudut ∠KNM= 1000 maka diperoleh
∠KNM + ∠KNY = 1800
⇔ 1000 + ∠KNY = 1800
⇔ ∠KNY = 1800 – 1000
⇔ ∠KNY = 800
Jadi, ∠KNM = 1000 dan ∠KNY = 800 .
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan besar ∠KLM jika diketahui besar ∠KOM = 1220!
Pembahasan:
Jika diperhatikan, segiempat KLMO pada gambar bukan merupakan segiempat tali busur. Hal ini karena ada satu titik yang tidak terletak pada busur lingkaran yaitu titik O. Selain itu, segiempat KLMO hanya memuat dua tali busur yaitu tali busur KL dan tali busur KM. Untuk ruas garis KO dan ruas garis MO merupakan jari-jari lingkaran dengan pusat O.
Agar memudahkan dalam menjawab soal ini, maka kita akan membuat garis bantu sehingga nantinya terbentuk segiempat tali busur. Perhatikan gambar di bawah ini.
Dari titik K dan titik M kita buat dua buah tali busur sehingga terbentuk tali busur KM dan KN. Sekarang kita sudah mempunyai segiempat tali busur KLMN. Berdasarkan sifat sudut pusat dan sudut keliling maka diperoleh,
∠KNM = ½ × ∠KOM
⇔ ∠KNM = ½ × 1220
⇔ ∠KNM = 610
Untuk menentukan besar ∠KLM, kita akan menggunakan salah satu sifat segiempat tali busur yaitu sudut-sudut yang berhadapan berjumlah 1800. Sehingga diperoleh,
∠KLM + ∠KNM = 1800
⇔ ∠KLM + 610 = 1800
⇔ ∠KLM = 1800 – 610
⇔ ∠KLM = 1190
Jadi, besar ∠KLM = 1190.