Materi sudut dalam dimensi tiga meliputi sudut antara dua garis, sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang. Pembahasan kali ini akan difokuskan pada apa itu sudut antara dua bidang dan contoh soalnya lengkap dengan penyelesaian.
Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. Sudut yang terbentuk ini juga dikenal dengan sebutan sudut tumpuan.
Agar lebih memahami definisi tersebut, perhatikan ilustrasi berikut:
Bidang α berpotongan dengan bidang β pada satu garis perpotongan. Garis m pada bidang α berpotongan dengan garis n pada bidang β. Sudut antara gais m dan garis n inilah yang membentuk sudut dan mewakili sudut antara dua bidang.
Berikut beberapa soal mengenai sudut antara dua bidang disertai dengan pembahasan lengkapnya.
Contoh Soal 1
Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut yang dibentuk antara bidang ABCD dengan bidang ACGE!
Jawab:
Berdasarkan informasi dari soal diperoleh ilustrasi sebagai berikut
Perhatikan bahwa ruas garisAC dan ruas garis CG terletak pada bidang ACGE. Sedangkan ruas garis AC dan ruas garis CG tegak lurus terhadap bidang ABCD. Maka bidang ACGE juga tegak lurus dengan bidang ABCD. Dapat disimpulkan bahwa sudut yang dibentuk antara bidang ABCD dan bidang ACGE adalah 900.
Contoh Soal 2
Diketahui limas beraturan T.ABCD, bidang ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 10 cm. Tinggi limas tersebut adalah 5 cm. Tentukan besar sudut antara bidang ABCD dan bidang TBC!
Jawab:
Untuk mempermudah penyelesaian, perhatikan ilustrasi berikut.
Perpotongan antara bidang ABCD dan bidang TBC adalah ruas garis BC. Proyeksikan titik puncak limas T pada bidang ABCD, misalkan pada titik E. Ruas garis yang dibentuk oleh titik T dan titik E tegak lurus terhadap bidang ABCD.
Selanjutnya, tarik ruas garis yang melalui E dan tegak lurus dengan ruas garis BC. Ruas garis tersebut akan memotong ruas garis BC di titik F dan memotong ruas garis AD di titik G. Tarik ruas garis dari T ke titik F, dan selanjutnya ruas garis TF akan tegak lurus dengan ruas garis BC.
Perhatikan bahwa ruas garis GF dan ruas garis TF berpotongan di titik F. Sudut yang dibentuk oleh bidang ABCD dan bidang TBC adalah sama dengan sudut yang dibentuk oleh ruas garis GF dan ruas garis TF, misal dinamakan sudut α.
Untuk mempermudah dalam menentukan besar sudut α, cukup fokus pada segitiga FTE. Segitiga FTE merupakan segitiga siku-siku di titik E.
Ruas garis TE merupakan tinggi limas, sehingga panjang TE = 5 cm.
Panjang EF = 1/2 . GF = 1/2 . AB = 5 cm
Dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku kita dapat menentukan besar sudut α.
Contoh Soal 3
Diketahui limas T.ABC dengan besar sudut BAT = sudut BAC = sudut CAT = 900. Jika panjang AB = AC = AT = a. Tentukan nilai sin dari sudut yang dibentuk oleh bidang ABC dan bidang TBC!
Jawab:
Untuk mempermudah penyelesaian, perhatikan ilustrasi berikut.
Bidang ABC dan bidang TBC berpotongan di ruas garis BC. Dari titik A pada bidang ABC dan dari titik T pada bidang TBC masing-masing ditarik garis yang tegak lurus terhadap ruas garis BC. Kedua garis tersebut nantinya akan berpotongan di satu titik, misalkan titik D.
Sudut antara bidang ABC dan bidang TBC dimisalkan dengan sudut α. Sekarang cukup fokus ke segitiga TAD untuk menemukan berapa nilai sinus dari sudut α.
Segitiga TAD merupakan segitiga siku-siku. Selanjutnya kita perlu menemukan panjang ruas garis AD dan ruas garis TD. Panjang ruas garis AD dapat diperoleh dari luas segitiga ABC.
Panjang ruas garis TD dapat diperoleh dari luas segitiga TAD.
Dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku, maka nilai sin dari sudut α dapat ditentukan.